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1.9. Forces centrales
Un point matériel M est soumis à une force centrale de centre O si la droite d’action
de cette force passe par O quelle que soit la position de M. Une telle force dérive d’une
énergie potentielle qui est obligatoirement isotrope (les lignes de force sont orthogonales
aux surfaces d’égale énergie potentielle) de sorte qu’on l’écrit
− →
F = f (r) − → u r , où − → u r est le
vecteur unitaire radial des coordonneés sphériques, avec f (r) = −
dE p
dr
.
Propriétés : Soit un point matériel M soumis uniquement à une force centrale de centre O. On
observe les propriétés suivantes :
– Le moment cinétique en O − → s O (M) du point matériel est conservatif.
– Le mouvement de M s’effectue donc dans un plan perpendiculaire à − → s O (M) et passant par O.
On le décrira de manière pratique en coordonnées polaires.
– Le mouvement de M obéit à la loi des aires : pendant une durée Dt donnée, le rayon vecteur
− − →
OM balaie des aires égales, quelle que soit la position de M.
– L’énergie mécanique du point M dans un champ de forces central
− →
F = f(r) − → ur est conservative.
Compte tenu de la conservation du moment cinétique, on peut passer des expressions
générales de la vitesse et de l’accélération en coordonnées polaires (r, u) à des relations ne
faisant plus intervenir le temps ; ce sont les formules de Binet. En définissant la constante
des aires C par − → s O (M) = mC, on a C = r
2 , et :
v
2 = C
2
1
r
2
1
d
du
1
r
2
− → a = −
C
2
r 2
1
r
1
d
2
1
r
du 2
− → u r
➜ Voir exercices 1 à 15
2. OSCILLATEUR HARMONIQUE À UNE DIMENSION.
OSCILLATIONS LIBRES
2.1. Mouvement d’une particule au voisinage d’une position
d’équilibre stable
Une position d’équilibre stable pour une particule placée dans un champ de forces dérivant
d’une énergie potentielle se définit par l’existence d’une force de rappel lorsqu’on l’écarte
de cette position ; comme
− →
F = −
− − →
grad(E p ), cela se traduit par un minimum de l’énergie
potentielle. Dans le cas général multidimensionnel, l’étude des positions d’équilibre et de
leur stabilité peut être difficile car les surfaces équipotentielles peuvent avoir une topologie
compliquée (points selles,... )
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1.9. Forces centrales
Un point matériel M est soumis à une force centrale de centre O si la droite d’action
de cette force passe par O quelle que soit la position de M. Une telle force dérive d’une
énergie potentielle qui est obligatoirement isotrope (les lignes de force sont orthogonales
aux surfaces d’égale énergie potentielle) de sorte qu’on l’écrit
− →
F = f (r) − → u r , où − → u r est le
vecteur unitaire radial des coordonneés sphériques, avec f (r) = −
dE p
dr
.
Propriétés : Soit un point matériel M soumis uniquement à une force centrale de centre O. On
observe les propriétés suivantes :
– Le moment cinétique en O − → s O (M) du point matériel est conservatif.
– Le mouvement de M s’effectue donc dans un plan perpendiculaire à − → s O (M) et passant par O.
On le décrira de manière pratique en coordonnées polaires.
– Le mouvement de M obéit à la loi des aires : pendant une durée Dt donnée, le rayon vecteur
− − →
OM balaie des aires égales, quelle que soit la position de M.
– L’énergie mécanique du point M dans un champ de forces central
− →
F = f(r) − → ur est conservative.
Compte tenu de la conservation du moment cinétique, on peut passer des expressions
générales de la vitesse et de l’accélération en coordonnées polaires (r, u) à des relations ne
faisant plus intervenir le temps ; ce sont les formules de Binet. En définissant la constante
des aires C par − → s O (M) = mC, on a C = r
2 , et :
v
2 = C
2
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1
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du
1
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− → a = −
C
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r 2
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du 2
− → u r
➜ Voir exercices 1 à 15
2. OSCILLATEUR HARMONIQUE À UNE DIMENSION.
OSCILLATIONS LIBRES
2.1. Mouvement d’une particule au voisinage d’une position
d’équilibre stable
Une position d’équilibre stable pour une particule placée dans un champ de forces dérivant
d’une énergie potentielle se définit par l’existence d’une force de rappel lorsqu’on l’écarte
de cette position ; comme
− →
F = −
− − →
grad(E p ), cela se traduit par un minimum de l’énergie
potentielle. Dans le cas général multidimensionnel, l’étude des positions d’équilibre et de
leur stabilité peut être difficile car les surfaces équipotentielles peuvent avoir une topologie
compliquée (points selles,... )
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