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i
Il est utile de se rappeler qu’on peut calculer le travail en intégrant la puissance de
− →
f
entre deux instants :
W 1→2 (
− →
f ) =
t2
t1
P (
− →
f )dt
• Cas d’un référentiel non galiléen : il faut ajouter à la somme des travaux des forces, les
travaux des forces d’inertie d’entraînement.
Remarque : la force d’inertie de Coriolis ne travaille pas, puisqu’elle est à chaque
instant normale à la vitesse du point dans le référentiel entrainé (sa puissance est
toujours nulle) :
P (
− →
f ic (M)) =
− →
f ic (M) · − →
v R 2 (M) = 0, (∀t)
1.8. Interactions conservatives. Énergie potentielle, énergie
mécanique
• Forces conservatives : une force est conservative si son travail lors du déplacement du
point matériel M d’un point A à un point B ne dépend pas du chemin suivi. En particulier
sur un contour fermé quelconque :
C
− →
f · d
− − →
OM = 0, ∀C, fermé
Il est alors facile de montrer qu’une force est conservative si et seulement s’il existe une
fonction scalaire E p (x, y, z), ne dépendant que des coordonnées d’espace, telle que :
− →
f (x, y, z) = −
− − →
gradE p (x, y, z)
On a alors
W A→B (
− →
f ) = E p (A) − E p (B)
L’énergie potentielle E p (x, y, z) n’est pas, étant donné un champ de forces, définie de
façon univoque, mais à une constante additive près. On dit que le champ de forces
− →
f
dérive d’un potentiel.
Etant donné un champ de forces
− →
f , il est donc conservatif si
− →
rot(
− →
f ) =
− →
0
• Conservation de l’énergie mécanique : en appliquant le théorème de l’énergie cinétique, dans le cas où les forces dérivent toutes d’un potentiel, on montre que :
Théorème : L’énergie mécanique Em = Ec 1 Ep d’une particule soumise uniquement à des forces
conservatives ne dépend pas du temps :
dEm
dt
= 0
Il est important de remarquer que cette propriété reste vraie si la particule est aussi
soumise à des liaisons (forces de contact avec une surface ou une courbe) à condition
que celles-ci ne travaillent pas. C’est en particulier le cas en l’absence de frottements,
mais aussi lorsqu’on a des frottements latéraux, de résultante orthogonale à la vitesse à
tout instant.
1. MÉCANIQUE
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Il est utile de se rappeler qu’on peut calculer le travail en intégrant la puissance de
− →
f
entre deux instants :
W 1→2 (
− →
f ) =
t2
t1
P (
− →
f )dt
• Cas d’un référentiel non galiléen : il faut ajouter à la somme des travaux des forces, les
travaux des forces d’inertie d’entraînement.
Remarque : la force d’inertie de Coriolis ne travaille pas, puisqu’elle est à chaque
instant normale à la vitesse du point dans le référentiel entrainé (sa puissance est
toujours nulle) :
P (
− →
f ic (M)) =
− →
f ic (M) · − →
v R 2 (M) = 0, (∀t)
1.8. Interactions conservatives. Énergie potentielle, énergie
mécanique
• Forces conservatives : une force est conservative si son travail lors du déplacement du
point matériel M d’un point A à un point B ne dépend pas du chemin suivi. En particulier
sur un contour fermé quelconque :
C
− →
f · d
− − →
OM = 0, ∀C, fermé
Il est alors facile de montrer qu’une force est conservative si et seulement s’il existe une
fonction scalaire E p (x, y, z), ne dépendant que des coordonnées d’espace, telle que :
− →
f (x, y, z) = −
− − →
gradE p (x, y, z)
On a alors
W A→B (
− →
f ) = E p (A) − E p (B)
L’énergie potentielle E p (x, y, z) n’est pas, étant donné un champ de forces, définie de
façon univoque, mais à une constante additive près. On dit que le champ de forces
− →
f
dérive d’un potentiel.
Etant donné un champ de forces
− →
f , il est donc conservatif si
− →
rot(
− →
f ) =
− →
0
• Conservation de l’énergie mécanique : en appliquant le théorème de l’énergie cinétique, dans le cas où les forces dérivent toutes d’un potentiel, on montre que :
Théorème : L’énergie mécanique Em = Ec 1 Ep d’une particule soumise uniquement à des forces
conservatives ne dépend pas du temps :
dEm
dt
= 0
Il est important de remarquer que cette propriété reste vraie si la particule est aussi
soumise à des liaisons (forces de contact avec une surface ou une courbe) à condition
que celles-ci ne travaillent pas. C’est en particulier le cas en l’absence de frottements,
mais aussi lorsqu’on a des frottements latéraux, de résultante orthogonale à la vitesse à
tout instant.
1. MÉCANIQUE
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