solutions des exercices
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23 1. En un point M de l’axe :
− →
B (M) =
m o I
2a
sin
3 a − → u =
m o I
2a
1 1
z
a
2 −3/2 − → u =
m o I
2
a
2
(a 2 1 z 2 ) 3/2
− → u .
dB
dz
∝ −
z
(a 2 1 z 2 ) 5/2 ,
d
2 B
dz 2 ∝ −
1
(a 2 1 z 2 ) 5/2 1
5z
2
(a 2 1 z 2 ) 7/2 .
Cette dérivée seconde s’annule pour z = ±a/2 qui correspond bien à deux points
d’inflexion. B(a/2) = 0,716B(O) d’où B(a/2)/B(O) = 0,716 et B(a) = B(O)/2
√
2.
A.N. B(O) = 9,26.10
−4 T = 46B T .
2.
B(x) =
m o NI
2







a
2
a 2 1
d
2
1 x
2 3/2 1
a
2
a 2 1
d
2
− x
2 3/2







= f
z =
d
2
1 x
1 f
z =
d
2
− x
avec
f (z) =
m o NI
2
a
2
(a 2 1 z 2 ) 3/2 .
f
z =
d
2
± x
= f
d
2
± xf
d
2
1
x
2
2
f
d
2
1 o(x
3 ),
d’où :
B(x) = 2f
d
2
1 x
2 f
d
2
1 o(x
3 )
On aura B(x) = 2f
d
2
si f
d
2
= 0, ce qui correspond aux points d’inflexion de la
courbe B(z), obtenus pour
d
2
=
a
2
soit d = a.
A.N. B(O) = 1,32 mT, B(O 1 ) = 1,25 mT = 0,95B(O) : le champ est uniforme à 5 %
près.
24 1. Tout plan passant par une spire est un plan de symétrie.
− →
B étant un vecteur axial,
il est perpendiculaire à ces plans de symétrie.
− →
B est donc parallèle à l’axe :
− →
B = B − → u z .
Toute translation parallèle à z
z ou toute rotation autour de z
z laisse B inchangé ; B ne
dépend ni de z ni de u :
− →
B = B(r) − → u z .
2. ÉLECTROMAGNÉTISME
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