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i
i
D’après les variations de B en fonction de z représentées dans
la question précédente,
dB o (z)
dz
< 0, quel que soit z, donc
B r (r, z) > 0, quels que soient r et z. C’est la seule possibilité
pour que les lignes de champ se referment à l’infini.
I
B
22 1. D’après la première question de l’exercice précédent,
le champ créé par une spire en M vaut :
− →
B (M) =
m o I
2a
a
r
3 − → u =
m o I
2a
sin
3 a − → u .
Pour ndz spires, il vaudra
− →
dB(M) =
m o ndzI
2a
sin
3 a − → u .
Or z = MP, tan a = a/z, dz = ada/ sin
2 a, donc
− →
dB(M) = −
m o nI
2
sin ada − → u et
− →
B (M) =
m o nI
2
(cos a 1 − cos a 2 ) − → u
2. Au centre du solénoïde, cos a 1 = − cos a 2 =
L
2
(a 2 1 L 2 /4)
, d’où
− →
B (O) =
m o nIL
2
(a 2 1 L 2 /4)
− → u
Si a L/2 alors
− →
B ∞ (O) = m o nI − → u . Pour le solénoïde réel, un développement limité
de
− →
B (O) au second ordre en a/L conduit à
− →
B (O) ≈ m o nI − → u (1 − 2a
2 /L
2 )
B ∞ (O) − B(O)
B ∞ (O)
< 1% si
L
a
< 14.
3. On applique le théorème d’Ampère à un contour rectangulaire dont deux côtés sont
parallèles à z
z et deux côtés lui sont perpendiculaires. Ce rectangle est situé soit entièrement à l’intérieur du solénoïde, soit entièrement à l’extérieur. Dans les deux cas, il n’enlace
aucun courant. Sachant de plus que
− →
B = B(z) − → u pour un solénoïde infiniment long, on
en déduit que
− →
B ext =
− →
Cte ainsi que
− →
B int =
− − →
Cte
. D’où
− →
B int = m o nI − → u et
− →
B ext =
− →
0 .
Il y a discontinuité du champ à la surface du solénoïde, qui respecte :
− →
B int −
− →
B ext = m o
− →
j s ∧ − → u r
avec la densité surfacique de courant
− →
j s = −nI − → u u .
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