solutions des exercices
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a
I
z
M 0
u 1
u
dB
dB 1
P 1
1
r
z
21 1. L’infinité de plans perpendiculaires à la spire et contenant z
z sont des
plans d’anti-symétrie (symétrie S.I.).
− →
B
étant un vecteur axial, il est contenu dans
les plans d’anti-symétrie :
− →
B est donc colinéaire à z
z :
− →
B = B − → u z . Il y a invariance
par rotation autour de z
z : B est indépendant de u et
− →
B = B(z) − → u z . La loi de Biot et
Savart permet d’exprimer le champ
− →
dB 1 créé
en M o par l’élément de conducteur
− →
d 1 :
− →
dB 1 =
m o
4p
− →
d 1 ∧ − → u 1
r 2
qui est perpendiculaire à P 1 M o . Or seule sa projection sur l’axe z
z compte, soit
dB 1z = dB 1 sin a avec sin a = a/r. L’ensemble de la spire créera le champ :
− →
B =
spire
dB 1z
− → u =
m o Ia
4pr 3
− → u
d 1 =
m o Ia
2
2r 3
− → u .
Or B(O) =
m o I
2a
, d’où :
− →
B (M o ) = B(O)
a
r
3 − → u = B(O)
1 1
z
a
2 −3/2 − → u
z
B(M 0 )
– a/2
a/2
Les variations de B en fonction de z sont représentées
sur la figure ci-contre.
2. Le flux de
− →
B sortant d’une surface fermée est
nul. Or B = B(r, z), l’équation locale correspondante
s’écrit en coordonnées cylindriques :
div
− →
B =
1
r
≠(rB r )
≠r
1
≠B u
≠u
1
≠(rB z )
≠z
= 0.
Elle conduit à
≠(rB r )
≠r
= −
≠(rB z )
≠z
.
Si r a, B z ≈ B o (z), d’où
≠(rB z )
≠z
= r
dB o (z)
dz
≠(rB r )
≠r
= −r
dB o (z)
dz
qui s’intègre :
rB r (r, z) = −
r
2
2
dB o (z)
dz
et donne :
B r (r, z) ≈ −
r
2
dB o (z)
dz
2. ÉLECTROMAGNÉTISME
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