solutions des exercices
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b. En introduisant r = R 1 e et
du
dt
= −v C 1 v
, la deuxième équation du trio ci-dessus
donne
−v C
de
dt
= 2
de
dt
(−v C 1 v
) 1 (R 1 e)
dv
dt
.
À l’ordre 0, e = 0, v
= 0. A l’ordre 1, v C
de
dt
= R
dv
dt
ou encore :
v C e = Rv
(la constante d’intégration doit être nulle, pour respecter le résultat à l’ordre 0).
c. Il en est de même pour la première équation du trio de la question 2-a, qui devient :
v C (R 1 e)(−v C 1 v
) =
d
2 e
dt 2 − (R 1 e)(−v C 1 v
)
2 .
En remplaçant v
par v C e/R, elle s’écrit au premier ordre en e/R :
d
2 e
dt 2 = v
2
C e.
La solution de cette équation différentielle du second ordre est de la forme e = Ae
−v C t ,
elle décroît et s’annulle rapidement quand t augmente. Il y a donc retour rapide à la valeur
r = R selon − → u r . De plus, si e s’annule rapidement, il en est de même pour v
. Il y a retour
à la position d’équilibre également selon − → u u .
d. La dernière équation du trio de la question 2.a conduit à
dz
dt
= Cte = v oz = v z .
Le mouvement hélicoïdal se fait à vitesse constante selon l’axe de l’hélice.
14 1. La charge q est soumise à
− →
F = q − → v ∧
− →
B parallèle à y
y et dirigée dans le
sens négatif de l’axe, quelle que soit le signe de q. A se charge donc positivement, C
négativement, V h >0, quelle que soit le signe de q.
2. Pour que le mouvement des charges reste rectiligne et uniforme (régime continu,
I = Cte) il faut qu’il existe une force
− →
F h = −
− →
F = q
− →
E h = −q − → v ∧
− →
B , d’où le
champ de Hall
− →
E h = − − → v ∧
− →
B dirigé selon Oy. Il lui correspond une tension de Hall
V h = E h a = vBa. Or I = jab et j = rv = nqv. On obtient :
V h =
IBR h
b
3. n =
rN
M
où N est le nombre d’Avogadro ;
R h =
M
rNe
et V h =
IBM
rNeb
2. ÉLECTROMAGNÉTISME
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