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i
i
13 1.a.
F P = mg ;
q − → v ∧
− →
B = m
d − → v
dt
b. L’accélération − → a =
d − → v
dt
est perpendiculaire à
− →
B , il en est de même pour − → v o , le
mouvement de la particule se fait donc dans un plan perpendiculaire à
− →
B .
Dans le repère de Frenet, − → a =
dv
dt
− → u t 1
v
2
R
− → u n et − → v = v − → u t . La relation fondamentale
de la dynamique s’écrit alors :
qv − → u t ∧ Bv − → u z = m
dv
dt
− → u t 1
v
2
R
− → u n
.
Or − → u t ∧ − → u z = − → u n , d’où
dv
dt
= 0 et v = Cte = v o . De plus |q| v o B =
mv o
R
d’où
R =
mv o
|q| B
= Cte : le mouvement est circulaire et uniforme, de période :
T =
2pR
v o
=
2pm
|q| B
.
Si q < 0 la trajectoire est représenté ci-contre.
v 0
F
B
c.
− →
B maintient la trajectoire circulaire et plane.
d. La trajectoire devient hélicoïdale d’axe Oz.
e. L’accélération initiale de l’électron est soumise à la conservation de l’énergie :
1
2
mv
2 = eDV d’où v o =
2eDV
m
= 5,96.10
7 ms
−1 , R = 6,7 cm et T = 7,1 ns.
2.a. En coordonnées cylindriques,
− → r = r − → u r 1 z − → u z , − → v = v r
−
→ u r 1 v u
− → u u 1 v z
− → u z =
dr
dt
− → u r 1 r
du
dt
− → u u 1
dz
dt
− → u z
et
− → a =
d
2− → r
dt 2 =
d
2 r
dt 2 − r
du
dt
2
− → u r 1
2
dr
dt
du
dt
1 r
d
2 u
dt 2
− → u u 1
d
2 z
dt 2
− → u z .
La relation fondamentale de la dynamique q − → v ∧
− →
B = m
d − → v
dt
, projetée sur les trois axes
devient :
sur − → u r : v C v u = a r soit v C r
du
dt
=
d
2 r
dt 2 − r
du
dt
2
sur − → u u : − v C v r = a u soit − v C
dr
dt
= 2
dr
dt
du
dt
1 r
d
2 u
dt 2
sur − → u z : 0 = a z soit 0 =
d
2 z
dt 2
212