solutions des exercices
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qui conduit à l’énergie :
U =
tout l’espace
1
2
´o
− →
E (P)
2
dt
L’intégrale portant sur tout l’espace, il faut distinguer l’espace intérieur à la sphère où
règne E int =
rr
3´ o
et l’espace extérieur où règne E ext =
rR
3
3´ o r 2 . On est amené à calculer la
somme des deux intégrales :
U =
´ o
2
R
0
rr
3´ o
2
4pr
2 dr 1
∞
R
rR
3
3´ o r 2
2
4pr
2 dr
.
On obtient évidemment le même résultat qu’aux deux questions précédentes.
Remarque : ce calcul peut être refait dans le cas d’une sphère portant la même charge
totale Q mais répartie uniformément sur sa surface. On obtient alors une énergie
électrostatique U =
Q
2
8p´ o R
inférieure à celle de sphère chargée en volume.
12 L’énergie de l’ensemble de la chaîne s’écrit, avec N −→ ∞,
+ e
a
– e
+ e – e
+ e – e
a
a
a
a
U =
1
2
N
i=1
N
j=1
jfii
q i q j
4p´ o r ij
L’énergie par ion vaudra :
U ion = Lim N −→∞
U
N
.
Or
jfii
q i q j
4p´ o r ij
=
e
2
4p´ o
−
1
a
1
1
2a
−
1
3a
1
1
4a
− ....
3 2.
La multiplication par 2 provient de la sommation sur les deux demi-droites à gauche et à
droite de l’origine. Dans cette suite, on reconnaît le développement limité de
Ln(1 1 x) ≈ x −
x
2
2
1
x
3
3
−
x
4
4
1 ...
pour x = 1, soit pour Ln2. L’énergie par ion devient :
U = −
e
2 Ln2
4p´ o a
U < 0 signifie que l’opérateur fournit du travail pour former le cristal ionique, de plus, si
la distance a entre les ions diminue, ce travail augmente.
2. ÉLECTROMAGNÉTISME
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