i
i
i
i
i
i
i
i
b. Si u = u max /2 lorsque V = V max , alors
u max
2
≈
´ o SV
2
max
2mge 2
o
avec u max ≈ e o /l o .
On obtient :
V max =
mge
3
o
´ o Sl o
= 333 kV
11 1. Il faut utiliser U =
1
2
t
r(P)V (P)dt et pour cela trouver l’expression du
potentiel V (P) intérieur à la sphère. Le théorème de Gauss appliqué à une surface
sphérique de rayon r donne :
si r < R : Q int =
4
3
pr
3 r, F = 4pr
2 E int =
Q int
´ o
d’où E int =
rr
3´ o
et V int = −
rr
2
6´ o
1 C 1
si r > R : Q int =
4
3
pR
3 r, F = 4pr
2 E ext =
Q int
´ o
d’où E ext =
rR
3
3´ o r 2 et V ext = −
rR
3
3´ o r
1C 2
Quand r tend vers l’infini, V ext tend vers 0, d’où C 2 = 0.
La continuité du potentiel en r = R , V int (R) = V ext (R) conduit à C 1 =
rR
2
2´ o
, soit finalement l’expression du potentiel cherché : V int = −
rr
2
6´ o
1
rR
2
2´ o
. L’énergie électrostatique
de la sphère vaut alors :
U =
1
2
R
0
rV int 4pr
2 dr
U =
4r
2 pR
5
15´ o
=
3Q
2
20p´ o R
2. Méthode de « la pelure d’oignon »
Soit une sphère de rayon r < R et portant la charge q. Le potentiel créé à sa surface
vaut V (r) =
q
4p´ o r
. Or si cette sphère est une partie de la sphère étudiée de densité
volumique r, q =
4
3
pr
3 r et V (r) =
rr
2
3´ o
. On désire recouvrir cette sphère par une calotte
sphérique de rayon r et d’épaisseur dr. Cette calotte portera la charge dq = 4pr
2 rdr. Le
travail nécessaire pour amener cette calotte depuis l’infini jusqu’à la surface de la sphère
de rayon r vaut dU = dqV (r). Si la sphère de rayon R est ainsi construite par calottes
successives, il aura fallu fournir le travail :
U =
R
0
V (r)dq =
R
0
rr
2
3´ o
(4pr
2 rdr) =
4r
2 pR
5
15´ o
=
3Q
2
20p´ o R
3. Il faut utiliser la densité d’énergie :
u =
1
2
´o
− →
E (P)
2
210
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b. Si u = u max /2 lorsque V = V max , alors
u max
2
≈
´ o SV
2
max
2mge 2
o
avec u max ≈ e o /l o .
On obtient :
V max =
mge
3
o
´ o Sl o
= 333 kV
11 1. Il faut utiliser U =
1
2
t
r(P)V (P)dt et pour cela trouver l’expression du
potentiel V (P) intérieur à la sphère. Le théorème de Gauss appliqué à une surface
sphérique de rayon r donne :
si r < R : Q int =
4
3
pr
3 r, F = 4pr
2 E int =
Q int
´ o
d’où E int =
rr
3´ o
et V int = −
rr
2
6´ o
1 C 1
si r > R : Q int =
4
3
pR
3 r, F = 4pr
2 E ext =
Q int
´ o
d’où E ext =
rR
3
3´ o r 2 et V ext = −
rR
3
3´ o r
1C 2
Quand r tend vers l’infini, V ext tend vers 0, d’où C 2 = 0.
La continuité du potentiel en r = R , V int (R) = V ext (R) conduit à C 1 =
rR
2
2´ o
, soit finalement l’expression du potentiel cherché : V int = −
rr
2
6´ o
1
rR
2
2´ o
. L’énergie électrostatique
de la sphère vaut alors :
U =
1
2
R
0
rV int 4pr
2 dr
U =
4r
2 pR
5
15´ o
=
3Q
2
20p´ o R
2. Méthode de « la pelure d’oignon »
Soit une sphère de rayon r < R et portant la charge q. Le potentiel créé à sa surface
vaut V (r) =
q
4p´ o r
. Or si cette sphère est une partie de la sphère étudiée de densité
volumique r, q =
4
3
pr
3 r et V (r) =
rr
2
3´ o
. On désire recouvrir cette sphère par une calotte
sphérique de rayon r et d’épaisseur dr. Cette calotte portera la charge dq = 4pr
2 rdr. Le
travail nécessaire pour amener cette calotte depuis l’infini jusqu’à la surface de la sphère
de rayon r vaut dU = dqV (r). Si la sphère de rayon R est ainsi construite par calottes
successives, il aura fallu fournir le travail :
U =
R
0
V (r)dq =
R
0
rr
2
3´ o
(4pr
2 rdr) =
4r
2 pR
5
15´ o
=
3Q
2
20p´ o R
3. Il faut utiliser la densité d’énergie :
u =
1
2
´o
− →
E (P)
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