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7 1. Méthode générale pour le calcul d’une capacité :
circulation de E
V 1 – V 2
E
théorème de Gauss
définition de C
C
Ici, le champ est radial :
− →
E = E(r) − → u r . On choisit une
surface de Gauss sphérique, de centre O et de rayon
r. Le flux du champ électrostatique sortant de cette
surface vaut F = 4pr
2 E. Soient
− →
E 1 ,
− →
E 2 et
− →
E 3 les
champs dans les trois régions de l
espace délimitées
par les deux sphères.
Si r < R 1 ,
Q int = 0,
F = 0,
− →
E 1 =
− →
0 .
Si R 1 < r < R 2 ,
Q int = Q 1 ,
F = Q 1 /´ o ,
− →
E 2 =
Q 1
4p´ o r 2
− → u r .
Si r > R 2 ,
Q int = Q 1 1 Q 2 = 0,
F = 0,
− →
E 3 =
− →
0 .
On en déduit
V 1 − V 2 = −
1
2
− →
E 2 ·
−
→
dr = −
Q 1
4p´ o
1
2
dr
r 2 =
Q 1
4p´ o
1
R 1
−
1
R 2
.
Puis la capacité :
C = Q 1 /(V 1 − V 2 )
C = 4p´ o
R 1 R 2
R 2 − R 1
Remarque : Si R 2 = R 1 1 e avec e R 1 alors C ≈ 4p´ o
R
2
1
e
=
´ o S
e
. On retrouve la
capacité d’un condensateur plan.
A.N. C = 2.10
−11 F = 20 pF.
2.
V o = V 1 − V 2 =⇒ Q o = Q 1 = CV o = 4.10
−8 C = 40 nC.
3. La conservation de la charge s’écrit (Voir figure page suivante) :
Q o = CV o = Q 1 Q
.
Les condensateurs étant montés en parallèle, ils sont soumis à la même tension entre leurs
armatures :
V =
Q
C
=
Q
C
.
D’où :
Q =
C
2 V o
C 1 C
Q
=
CC
V o
C 1 C
V =
CV o
C 1 C
A.N. Q = 10 nC , Q
= 30 nC , V = 500 V.
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