solutions des exercices
i
i
i
i
i
i
i
i
soit :
aa 1
2l cos u
a 3
− (aa 1 E o cos u) = s/´ o ,
avec l = −E o a
3 . On obtient ainsi la densité surfacique de charges :
s = −3´ o E o cos u
qui vaut −3´ o E o pour u = 0, qui vaut 0 pour u = ±p/2 et qui vaut 13´ o E o pour u = p.
s est négatif pour −p/2 u p/2 et positif dans l’autre hémisphère correspondant à
p/2 u 3p/2.
8. La charge totale portée par la surface s’écrit :
Q S =
S
sdS =
2p
0
(−3´ o E o cos u)(2pa
2 du) = 0.
Celle portée par l’ensemble de la sphère s’écrit :
Q =
rdt = rV = 4pa
3 a´ o .
9.a. Le moment dipolaire de plusieurs charges ponctuelles s’écrit
− →
p =
i q
− − →
i OA i .
Pour une distribution continue de charges, il s’écrit :
− →
p V =
r
− − →
OMdt =
rr − → u r dt
ou bien
− →
p S =
sr − → u r dS.
b.c. r = 3a´ o = Cte, en prenant deux points M et M
de la sphère diamètralement
opposés :
donc
− − →
OM 1
−−→
OM
=
− →
0 ,
− →
p V =
− →
0 .
Par contre,
s = −3´ o E o cos u, dS = a
2 sin ududw, r − → u r = a − → u r
d’où
− →
p S = −3´ o E o a
3− → u z
2p
0
dw
p
0
cos
2 u sin udu
− →
p =
− →
p S = −4p´ o E o a
3− → u z
10.
V ext =
Q
4p´ o r
1
p cos u
4p´ o r 2
Le potentiel de la sphère est égal à celui d’une charge ponctuelle Q située au centre O de
la sphère, additionnée de celui d’un dipôle de moment
− →
p situé également en O.
2. ÉLECTROMAGNÉTISME
205