i
i
i
i
i
i
i
i
d’où V = −a
z
2
2
− E o z 1 C 3 (x, y)
Il vient finalement :
V = −
a
2
(x
2 1 y
2 1 z
2 ) − E o z 1 C = −
ar
2
2
− E o r cos u 1 C
3.a. div E int =
r
´ o
s’écrit en coordonnées cartésiennes :
div
− →
E =
dE x
dx
1
dE y
dy
1
dE z
dz
= 3a =
r
´ o
,
d’où :
r = 3a´ o = Cte
b. DV = −
r
´ o
s’écrit en coordonnées cartésiennes :
DV =
≠
2 V
≠x 2 1
≠
2 V
≠y 2 1
≠
2 V
≠z 2 = −3a = −
r
´ o
soit le même résultat pour r que précédemment.
4.
− →
E int, r (M) = −
≠V
≠r
− → u r = (ar 1 E o cos u) − → u r
En r = a :
− →
E int, a = (aa 1 E o cos u) − → u r
5.
V ext =
aa
3
r
1
l cos u
r 2
En r = a,
V ext (a) = aa
2 1
l cos u
a 2
Or
V int (a) = −
aa
2
2
− E o a cos u 1 C
V est continu en r = a donc V ext (a) = V int (a), ce qui conduit à
cos u
l
a 2 1 aE o
= −
3aa
2
2
1 C.
Cette équation devant être vérifiée quel que soit u, il vient
l = −E o a
3
et
C = 3aa
2 /2
6.
E ext,r (M) = −
≠V ext
≠r
=
aa
3
r 2 1
2l cos u
r 3
et
E ext,a = aa 1
2l cos u
a 3 .
7. La discontinuité de la composante normale du champ s’écrit :
E ext,a − E int,a = s/´ o
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