solutions des exercices
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d. Le raisonnement est le même que dans le cas d’un champ uniforme (question 1-b) :
U = −
− →
p ·
−→
E ext
3.a. Le dipôle
− →
p 1 crée au point O 2 le champ (voir exercice 3. question 3) :
− →
E 1 (O 2 ) =
2kp 1 cos u
r 3
− → u r 1
kp 1 sin u
r 3
− → u u
que l’on peut encore exprimer sous la forme :
− →
E 1 (O 2 ) =
k
r 3
3( − → u r ·
− →
p 1 ) − → u r −
− →
p 1
b. L’énergie d’interaction entre
− →
p 1 et
− →
p 2 s’écrit : U 12 = −
− →
p 2 ·
− →
E 1 (O 2 ), soit encore :
U 12 = −
k
r 3
3(
− →
p 2 · − → u r )(
− →
p 1 · − → u r ) −
− →
p 2 ·
− →
p 1 )
c. 1
er cas :
− →
p 1 · − → u r = p 1 ;
− →
p 2 · − → u r = p 2 ;
− →
p 2 ·
− →
p 1 = p 2 p 1 d’où
p 2
p 1
u
u r
U 12 = −
2kp 1 p 2
r 3
Quand r décroît, U 12 diminue, il y a donc attraction.
p 2
p 1
u
2
e cas
u r
2
e cas :
− →
p 1 · − → u r =
− →
p 2 · − → u r = 0 et
−
→
p 2 ·
− →
p 1 = p 2 p 1 d’où
p 2
p 1
u
3
e cas
u r
U 12 =
kp 1 p 2
r 3
Quand r décroît, U 12 augmente, il y a donc répulsion.
3
e cas :
− →
p 1 · − → u r =
− →
p 2 · − → u r = 0 mais
− →
p 2 ·
− →
p 1 = −p 2 p 1
d’où
U 12 = −
kp 1 p 2
r 3
Quand r décroît, U 12 diminue, il y a donc attraction.
d. En conclusion, seul l’arrangement ci-contre
satisfait les conditions d’équilibre décrites dans
les 1er et 3ème cas précédents.
6 1.
− − →
OM = x
− →
i 1 y
− →
j 1 z
− →
k donc
− →
E int (M) = ax
− →
i 1 ay
− →
j 1 (az 1 E o )
− →
k
2.
− →
E int = −
− − →
gradV int donc E int, x = ax = −
≠V
≠x
d’où V = −a
x
2
2
1 C 1 (y, z) ;
E int,y = ay = −
≠V
≠y
d’où V = −a
y
2
2
1 C 2 (x, z) ; E int,z = az 1 E o = −
≠V
≠z
2. ÉLECTROMAGNÉTISME
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