solutions des exercices
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O
z
z
r
M
dS
dE
ρ
θ
u z
u
2 1. Un élément de surface dS
du disque porte une charge élémentaire dq = sdS qui crée un champ
− →
dE = k
sdS
r 2
− → u . Deux surfaces élémentaires diamétralement opposées créeront
deux champs élémentaires en un point M
de l’axe dont la résultante aura comme
direction l’axe z
z du disque. Il en est de
même pour le champ global.
Autre raisonnement : le champ
− →
E est un
vecteur polaire, il appartient aux plans de symétrie du système. Or il y a une infinité de
plans de symétrie passant par un point M de l’axe du disque : tous ces plans contiennent
z
z.
− →
E est donc confondu avec l’axe du disque
− →
E =
− →
E − → u z .
Seule la projection dE z de
− →
dE sur z
z sera donc à intégrer sur toutes les charges élémentaires du disque pour le calcul de
− →
E :
E z = ks
R
0
2p
0
cos urdrdw
r 2
=
s
2´ 0
R
0
cos urdr
r 2
(avec k =
1
4p´ 0
). En prenant comme variable d
intégration u, il vient pour z > 0 :
E = E z =
s
2´ 0
1 −
z
√
R 2 1 z 2
Pour z < 0, il suffit de remarquer que E z = −E z (−z), soit
E z = −
s
2´ 0
1 1
z
√
R 2 1 z 2
.
Les variations de E en fonction de z sont représentées sur la figure suivante.
z
E z
σ/2ε 0
– σ/2ε 0
Elles mettent en évidence la discontinuité
de E en z = 0, qui vaut :
E z1 (0) − E z− (0) = s/´ 0
2. Quand z R, un développement
limité d’ordre 1 conduit, pour z > 0 à :
E z ≈
sR
2
4´ 0 z 2
2. ÉLECTROMAGNÉTISME
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