i
i
i
i
i
i
i
i
Or le disque porte la charge totale Q = spR
2 , on retrouve donc E z ≈
Q
4p´ 0 z 2 , soit le
champ créé par une charge ponctuelle Q à la distance z.
3. Quand R → ∞, on retrouve le cas du plan infini chargé : E z = s /2´ 0 quand z > 0
et E z = −s/2´ o quand z < 0. E z est indépendant de z.
4. La surface élémentaire dS du disque porte la charge dq = sdS qui crée le potentiel
dV =
ksdS
r
, en prenant V (∞) = 0. Le potentiel en M s’écrira donc
V = ks
2p
0
dw
R
0
r
r
dr.
La bonne variable d’intégration est encore u. Elle conduit, pour z > 0, à :
V =
sz
2´ 0
√
R 2 1 z 2
z
− 1
On a de plus V (−z) = V (z).
z
V
σR/2ε 0
Remarque : le même résultat peut être
obtenu à partir de l’expression de E z trouvée à la question 1, puis en calculant la
circulation de E z entre M et l’infini. Les
variations de V en fonction de z sont représentées sur la figure ci-contre. Il n’y a pas
de discontinuité du potentiel à la traversée
du disque.
Quand z R, un développement limité identique à celui utilisé dans la question 2
conduit à
V =
sR
2
4´ 0 z
=
Q
4p´ 0 z
,
soit au potentiel créé par une charge ponctuelle Q.
Quand R → ∞, on ne peut plus prendre V (∞) = 0 car il existe alors des charges à
l’infini. Il faut repartir de l’expression du champ créé par un plan infini : E 1 = s/2´ 0 et
E − = −s/2´ 0 puis faire circuler ce champ entre O et M par exemple :
V 0 − V M =
OM
− →
E ·
− →
d
En choisissant V 0 = 0 en tout point du disque, il vient V = −sz/2´ 0 .
3 1. AB est un axe de symétrie du système. Tout plan contenant AB est donc un plan
de symétrie.
− →
E étant un vecteur polaire, il sera contenu dans le plan (M, AB). Sa norme
ainsi que le potentiel V ne dépendront que de la distance r de M à l’axe AB.
200