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1. Exprimer le nombre de particules dN contenues, par unité de volume, dans un cône
d’angle solide élémentaire dV = 2p sin u du (demi-angle au sommet u).
2. L’échantillon est soumis à un champ magnétique extérieur
− →
B ext uniforme. Quelle est
l’énergie potentielle U de chaque particule ? En toute rigueur, quel champ doit-on utiliser
dans l’expression obtenue ? Discuter.
3. La répartition des moments magnétiques n’est plus isotrope. Si on applique la répartition de Boltzmann, quel est le nombre dN
de particules qui possèdent l’énergie U ,
parmi les dN particules précédentes ?
4. Quelle est la contribution de chacune de ces dN
particules au vecteur-aimantation
− →
M
de l’échantillon ?
5. Si mB kT , calculer
− →
M. On obtient la loi de Curie. En déduire l’expression de
la susceptibilité magnétique de l’échantillon. Vérifier qu’il est bien paramagnétique. En
déduire une méthode de mesure de − → m .
6. Si mB kT , mais si le milieu est très dense, on ne peut plus négliger le champ créé
par les autres dipôles magnétiques devant le champ extérieur. On suppose que le champ
créé par les autres dipôles
−−→
B autre est proportionnel à
− →
M :
−−→
B autre = m o g
− →
M. Que devient
l’expression reliant
− →
M à
− →
B ext ? On obtient la loi de Curie-Weiss. Discuter l’existence d’une
température critique.
7. Si mB kT (basse température, champ intense), que devient
− →
M ? Discuter.
Exercice 52 Théorie du diamagnétisme de Langevin
On étudie d’abord le cas de l’électron de l’atome d’hydrogène, de rayon a et placé dans
un champ magnétique variable
− →
B (t).
1. Montrer qu’au champ
− →
B , on peut associer un potentiel-vecteur
− →
A =
1
2
− →
B ∧ − → r au
point M tel que
− − →
OM = − → r .
2. À partir de t = 0 et jusqu’à la date t 1 , on fait croître le champ magnétique depuis une
valeur nulle jusqu’à la valeur
− →
B (t 1 ) =
− →
B 1 selon la loi :
− →
B (t) =
− →
b t, où
− →
b est un vecteur
constant.
Montrer qu’il existe alors, dans tout l’espace, un champ électrique
− →
E que l’on exprimera.
3. Donner l’expression de la force électrique s’exerçant sur l’électron et calculer son
moment
− →
G N par rapport au noyau. On fera intervenir les coordonnées cartésiennes x, y,
z décrivant la position de l’électron.
4. Que valent les valeurs moyennes x
2 1 y
2 1 z
2
, x
2
, y
2
, z
2
, xy, yz et zx ?
En déduire
− →
G N en fonction de
− →
b puis de
− →
B .
5. Écrire le théorème du moment cinétique appliqué à l’électron. En supposant ce moment
cinétique uniquement orbital, en déduire le moment magnétique de l’électron en fonction
de
− →
B .
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1. Exprimer le nombre de particules dN contenues, par unité de volume, dans un cône
d’angle solide élémentaire dV = 2p sin u du (demi-angle au sommet u).
2. L’échantillon est soumis à un champ magnétique extérieur
− →
B ext uniforme. Quelle est
l’énergie potentielle U de chaque particule ? En toute rigueur, quel champ doit-on utiliser
dans l’expression obtenue ? Discuter.
3. La répartition des moments magnétiques n’est plus isotrope. Si on applique la répartition de Boltzmann, quel est le nombre dN
de particules qui possèdent l’énergie U ,
parmi les dN particules précédentes ?
4. Quelle est la contribution de chacune de ces dN
particules au vecteur-aimantation
− →
M
de l’échantillon ?
5. Si mB kT , calculer
− →
M. On obtient la loi de Curie. En déduire l’expression de
la susceptibilité magnétique de l’échantillon. Vérifier qu’il est bien paramagnétique. En
déduire une méthode de mesure de − → m .
6. Si mB kT , mais si le milieu est très dense, on ne peut plus négliger le champ créé
par les autres dipôles magnétiques devant le champ extérieur. On suppose que le champ
créé par les autres dipôles
−−→
B autre est proportionnel à
− →
M :
−−→
B autre = m o g
− →
M. Que devient
l’expression reliant
− →
M à
− →
B ext ? On obtient la loi de Curie-Weiss. Discuter l’existence d’une
température critique.
7. Si mB kT (basse température, champ intense), que devient
− →
M ? Discuter.
Exercice 52 Théorie du diamagnétisme de Langevin
On étudie d’abord le cas de l’électron de l’atome d’hydrogène, de rayon a et placé dans
un champ magnétique variable
− →
B (t).
1. Montrer qu’au champ
− →
B , on peut associer un potentiel-vecteur
− →
A =
1
2
− →
B ∧ − → r au
point M tel que
− − →
OM = − → r .
2. À partir de t = 0 et jusqu’à la date t 1 , on fait croître le champ magnétique depuis une
valeur nulle jusqu’à la valeur
− →
B (t 1 ) =
− →
B 1 selon la loi :
− →
B (t) =
− →
b t, où
− →
b est un vecteur
constant.
Montrer qu’il existe alors, dans tout l’espace, un champ électrique
− →
E que l’on exprimera.
3. Donner l’expression de la force électrique s’exerçant sur l’électron et calculer son
moment
− →
G N par rapport au noyau. On fera intervenir les coordonnées cartésiennes x, y,
z décrivant la position de l’électron.
4. Que valent les valeurs moyennes x
2 1 y
2 1 z
2
, x
2
, y
2
, z
2
, xy, yz et zx ?
En déduire
− →
G N en fonction de
− →
b puis de
− →
B .
5. Écrire le théorème du moment cinétique appliqué à l’électron. En supposant ce moment
cinétique uniquement orbital, en déduire le moment magnétique de l’électron en fonction
de
− →
B .
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