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Équations de l’électromagnétisme en régime variable
Exercice 35 Condensateur sphérique à fuite
Les électrodes d’un condensateur sphérique, de centre O, ont des rayons respectifs a et
b (a < b). L’électrode interne porte initialement une charge positive. Le milieu entre les
électrodes étant légèrement conducteur, cette charge « fuit » vers l’extérieur. Cela crée une
densité volumique de courant dans l’intervalle situé entre les électrodes.
1. Déterminer le vecteur densité de courant en un point M situé à la distance r du centre
O, en fonction de la charge Q(t) que porte l’électrode interne à la date t.
2. Déterminer le champ électrique
− →
E au point M. On admettra que la charge répartie en
volume entre les électrodes est négligeable devant celle portée par chaque armature.
3. Que peut-on dire du champ magnétique créé par le courant de fuite, compte tenu des
symétries du dispositif ?
4. On trace un contour quelconque sur une sphère de rayon r (a < r < b). Vérifier le
théorème d’Ampère généralisé sur ce contour.
Exercice 36 Conservation de la charge électrique
Un condensateur plan, perpendiculaire à l’axe Oz, est chargé par un courant d’intensité I
variable au cours du temps. Les plaques sont des disques de rayon R. Le courant est amené
au centre des plaques par un fil d’épaisseur négligeable. On considère que le courant est
superficiel sur les faces en regard des armatures. On admet enfin que :
– la densité superficielle de charge s est uniforme sur chaque armature et ne dépend donc
que du temps,
– il n’y a aucune concentration de charge aux bords du disque.
1. Préciser la direction du vecteur densité superficielle de courant
− →
j s et les coordonnées
dont dépendent ses composantes.
2. Utiliser la conservation de la charge pour relier s et
− →
j s .
3. Exprimer ds/dt en fonction du courant I et déterminer
− →
j s .
Étude macroscopique des diélectriques
Exercice 37 Ordres de grandeur dans le diamant
Un échantillon de diamant (masse molaire M = 12 g/mol ; masse volumique
m = 3,5 g/cm
3 ) acquiert un vecteur polarisation
− →
P (P = 10
−7 C/m
2 ) lorsqu’il
est placé entre les armatures d’un condensateur plan. La tension entre les armatures est
U = 100 V et la distance entre celles-ci vaut d = 2 cm. La surface de chaque armature
vaut S = 5 cm
2 .
Calculer, dans ces conditions :
1. le moment dipolaire électrique moyen
− →
p porté par chaque atome,
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Équations de l’électromagnétisme en régime variable
Exercice 35 Condensateur sphérique à fuite
Les électrodes d’un condensateur sphérique, de centre O, ont des rayons respectifs a et
b (a < b). L’électrode interne porte initialement une charge positive. Le milieu entre les
électrodes étant légèrement conducteur, cette charge « fuit » vers l’extérieur. Cela crée une
densité volumique de courant dans l’intervalle situé entre les électrodes.
1. Déterminer le vecteur densité de courant en un point M situé à la distance r du centre
O, en fonction de la charge Q(t) que porte l’électrode interne à la date t.
2. Déterminer le champ électrique
− →
E au point M. On admettra que la charge répartie en
volume entre les électrodes est négligeable devant celle portée par chaque armature.
3. Que peut-on dire du champ magnétique créé par le courant de fuite, compte tenu des
symétries du dispositif ?
4. On trace un contour quelconque sur une sphère de rayon r (a < r < b). Vérifier le
théorème d’Ampère généralisé sur ce contour.
Exercice 36 Conservation de la charge électrique
Un condensateur plan, perpendiculaire à l’axe Oz, est chargé par un courant d’intensité I
variable au cours du temps. Les plaques sont des disques de rayon R. Le courant est amené
au centre des plaques par un fil d’épaisseur négligeable. On considère que le courant est
superficiel sur les faces en regard des armatures. On admet enfin que :
– la densité superficielle de charge s est uniforme sur chaque armature et ne dépend donc
que du temps,
– il n’y a aucune concentration de charge aux bords du disque.
1. Préciser la direction du vecteur densité superficielle de courant
− →
j s et les coordonnées
dont dépendent ses composantes.
2. Utiliser la conservation de la charge pour relier s et
− →
j s .
3. Exprimer ds/dt en fonction du courant I et déterminer
− →
j s .
Étude macroscopique des diélectriques
Exercice 37 Ordres de grandeur dans le diamant
Un échantillon de diamant (masse molaire M = 12 g/mol ; masse volumique
m = 3,5 g/cm
3 ) acquiert un vecteur polarisation
− →
P (P = 10
−7 C/m
2 ) lorsqu’il
est placé entre les armatures d’un condensateur plan. La tension entre les armatures est
U = 100 V et la distance entre celles-ci vaut d = 2 cm. La surface de chaque armature
vaut S = 5 cm
2 .
Calculer, dans ces conditions :
1. le moment dipolaire électrique moyen
− →
p porté par chaque atome,
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