i
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i
Faire un schéma, en respectant les orientations données, où figure la force élémentaire
− →
df s’exerçant sur un élément
− →
d de courant du solénoïde (on supposera sur ce schéma
l’intensité i positive). Expliciter cette force élémentaire. En déduire les caractéristiques
de la résultante
− →
f s’exerçant sur l’ensemble du solénoïde (on posera = 2pNa).
Le référentiel d’étude étant supposé galiléen, appliquer le théorème du centre d’inertie en
projection sur l’axe x
Ox, la position d’équilibre lorsque le solénoïde n’est parcouru par
aucun courant étant repérée par x = 0.
En déduire l’équation différentielle liant x(t) et ses dérivées à i(t) [équation 1].
2. Le solénoïde se déplaçant dans l’entrefer à la vitesse − → v =
dx
dt
− → e x , calculer la force
électromotrice induite e(t) par le déplacement en fonction de B, et v. On adoptera la
convention habituelle selon laquelle e est positive si, seule dans le circuit fermé, elle y fait
circuler un courant d’intensité positive, et on précisera, à l’aide d’une figure, les autres
conventions choisies. La bobine, de résistance R et d’inductance propre L, est connectée à
une source idéale de tension délivrant la tension u(t). Montrer que l’équation différentielle
vérifiée par i(t) s’écrit :
Ri 1 L
di
dt
− Bv = u [équation 2]
3. La source idéale délivrant une tension sinusoïdale u(t) = U
√
2 cos vt, on se propose
d’étudier le régime forcé à la pulsation v imposée par la source. On associe à u(t) la forme
complexe u(t) = U
√
2e
jvt avec j
2 = −1. On cherche alors i(t) et v(t) sous les formes
complexes associées :
i(t) = I
√
2e
j(vt−w) = I
√
2e
jvt et v(t) = V
√
2e
j(vt−C) = V
√
2e
jvt .
À partir de l’équation 1, exprimer V en fonction de I . En utilisant l’équation 2, écrire la
relation liant U , I et V . Déduire des résultats précédents la relation entre U et I que l’on
mettra sous la forme U = ZI où Z est une impédance complexe.
On note Z L l’impédance complexe de la bobine en l’absence de mouvement de la membrane. Exprimer Z L .
Montrer que l’on peut mettre Z sous la forme Z= Z L 1Z m où Z m représente l’impédance motionnelle du haut-parleur. Exprimer les parties réelle et imaginaire de Z m , soit
Z m = R m (v) 1 jX m (v), où R m représente la résistance motionnelle et X m la réactance
motionnelle.
4. On se propose de tracer le diagramme d’impédance du haut-parleur. Soit P(v) le point
du plan complexe d’affine Z m (v). Montrer que le lieu décrit par le point P quand v varie
est un cercle de rayon R o , tangent à l’axe imaginaire à l’origine, appelé cercle de Kennely.
Exprimer R o en fonction de B, et m.
– Placer les points correspondants à v −→ 0, v −→ ∞ et v = v o =
k
m
– L’énergie fournie par la source est dissipée en partie dans la résistance ohmique R
sous forme de chaleur et dans la résistance motionnelle R m sous forme d’émission
acoustique. Dans quel intervalle de pulsation [v 1 , v 2 ] la résistance motionnelle est-elle
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Faire un schéma, en respectant les orientations données, où figure la force élémentaire
− →
df s’exerçant sur un élément
− →
d de courant du solénoïde (on supposera sur ce schéma
l’intensité i positive). Expliciter cette force élémentaire. En déduire les caractéristiques
de la résultante
− →
f s’exerçant sur l’ensemble du solénoïde (on posera = 2pNa).
Le référentiel d’étude étant supposé galiléen, appliquer le théorème du centre d’inertie en
projection sur l’axe x
Ox, la position d’équilibre lorsque le solénoïde n’est parcouru par
aucun courant étant repérée par x = 0.
En déduire l’équation différentielle liant x(t) et ses dérivées à i(t) [équation 1].
2. Le solénoïde se déplaçant dans l’entrefer à la vitesse − → v =
dx
dt
− → e x , calculer la force
électromotrice induite e(t) par le déplacement en fonction de B, et v. On adoptera la
convention habituelle selon laquelle e est positive si, seule dans le circuit fermé, elle y fait
circuler un courant d’intensité positive, et on précisera, à l’aide d’une figure, les autres
conventions choisies. La bobine, de résistance R et d’inductance propre L, est connectée à
une source idéale de tension délivrant la tension u(t). Montrer que l’équation différentielle
vérifiée par i(t) s’écrit :
Ri 1 L
di
dt
− Bv = u [équation 2]
3. La source idéale délivrant une tension sinusoïdale u(t) = U
√
2 cos vt, on se propose
d’étudier le régime forcé à la pulsation v imposée par la source. On associe à u(t) la forme
complexe u(t) = U
√
2e
jvt avec j
2 = −1. On cherche alors i(t) et v(t) sous les formes
complexes associées :
i(t) = I
√
2e
j(vt−w) = I
√
2e
jvt et v(t) = V
√
2e
j(vt−C) = V
√
2e
jvt .
À partir de l’équation 1, exprimer V en fonction de I . En utilisant l’équation 2, écrire la
relation liant U , I et V . Déduire des résultats précédents la relation entre U et I que l’on
mettra sous la forme U = ZI où Z est une impédance complexe.
On note Z L l’impédance complexe de la bobine en l’absence de mouvement de la membrane. Exprimer Z L .
Montrer que l’on peut mettre Z sous la forme Z= Z L 1Z m où Z m représente l’impédance motionnelle du haut-parleur. Exprimer les parties réelle et imaginaire de Z m , soit
Z m = R m (v) 1 jX m (v), où R m représente la résistance motionnelle et X m la réactance
motionnelle.
4. On se propose de tracer le diagramme d’impédance du haut-parleur. Soit P(v) le point
du plan complexe d’affine Z m (v). Montrer que le lieu décrit par le point P quand v varie
est un cercle de rayon R o , tangent à l’axe imaginaire à l’origine, appelé cercle de Kennely.
Exprimer R o en fonction de B, et m.
– Placer les points correspondants à v −→ 0, v −→ ∞ et v = v o =
k
m
– L’énergie fournie par la source est dissipée en partie dans la résistance ohmique R
sous forme de chaleur et dans la résistance motionnelle R m sous forme d’émission
acoustique. Dans quel intervalle de pulsation [v 1 , v 2 ] la résistance motionnelle est-elle
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