i
i
i
i
i
i
i
i
b. À l’instant t = 0, on ouvre l’interrupteur K. À cet instant, le rotor de la machine tournante est immobile, la masse m reposant sur un support que l’on enlève immédiatement.
On pose r = r L 1 r m . Établir l’équation (e1) tirée des lois de l’électrocinétique liant les
fonctions du temps i(t),
di
dt
et v(t) avec L, r et K comme paramètres. L’état de la diode
pour t > 0 est supposé être le même qu’à l’instant suivant l’ouverture de K.
c. L’ensemble de tous les éléments mobiles (machine tournante + réducteur + poulie
+ masselotte m + éléments de liaison) forme un système mécanique isolé noté (S) qui
possède une énergie cinétique E C que l’on écrira sous la forme E C =
1
2
J v
2 où J est le
moment d’inertie de (S) ramené à l’axe de rotation en amont du réducteur. On donne
J = 3.10
−6 kg.m
2 .
c.1. Dans quelle proportion la masselotte contribue-t-elle à cette valeur de J ?
c.2. Tous les frottements sont négligés.
– Sans faire de calcul, justifier que la masse m va d’abord monter.
– En appliquant au système (S) le théorème de l’énergie cinétique entre les instants t
et t 1 dt, établir l’équation (me) liant i(t) et
dv
dt
(t) avec K, J , m, g, a et C comme
paramètres.
d. Donner l’équation différentielle (dif ) vérifiée par i(t) avec L, K, J , m, g, a et C comme
paramètres.
e. Sans résoudre l’équation (dif ) :
– Exprimer littéralement puis numériquement
di
dt
(t = 0),
dv
dt
(t = 0) et la tension aux
bornes de la bobine u(t = 0 1 ).
– Justifier que i(t) tend vers une valeur limite i lim quand t devient grand.
– Exprimer littéralement puis calculer i lim , v lim et u lim .
f. La résolution de l’équation (dif ) permet de tracer les courbes suivantes où sont représentées les grandeurs i(t) en mA et v(t) en rad.s
−1 pour t variant de 0 à 2 s.
0
0
50
100
150
200
250
0,5
1
1,5
2
2,5
3 t (s)
– 150
– 100
– 50
0
50
100
0,5
1
1,5
t (s)
courbe 1
courbe 2
f.1. Identifier chacune des courbes en justifiant qualitativement votre réponse.
180
i
i
i
i
i
i
i
b. À l’instant t = 0, on ouvre l’interrupteur K. À cet instant, le rotor de la machine tournante est immobile, la masse m reposant sur un support que l’on enlève immédiatement.
On pose r = r L 1 r m . Établir l’équation (e1) tirée des lois de l’électrocinétique liant les
fonctions du temps i(t),
di
dt
et v(t) avec L, r et K comme paramètres. L’état de la diode
pour t > 0 est supposé être le même qu’à l’instant suivant l’ouverture de K.
c. L’ensemble de tous les éléments mobiles (machine tournante + réducteur + poulie
+ masselotte m + éléments de liaison) forme un système mécanique isolé noté (S) qui
possède une énergie cinétique E C que l’on écrira sous la forme E C =
1
2
J v
2 où J est le
moment d’inertie de (S) ramené à l’axe de rotation en amont du réducteur. On donne
J = 3.10
−6 kg.m
2 .
c.1. Dans quelle proportion la masselotte contribue-t-elle à cette valeur de J ?
c.2. Tous les frottements sont négligés.
– Sans faire de calcul, justifier que la masse m va d’abord monter.
– En appliquant au système (S) le théorème de l’énergie cinétique entre les instants t
et t 1 dt, établir l’équation (me) liant i(t) et
dv
dt
(t) avec K, J , m, g, a et C comme
paramètres.
d. Donner l’équation différentielle (dif ) vérifiée par i(t) avec L, K, J , m, g, a et C comme
paramètres.
e. Sans résoudre l’équation (dif ) :
– Exprimer littéralement puis numériquement
di
dt
(t = 0),
dv
dt
(t = 0) et la tension aux
bornes de la bobine u(t = 0 1 ).
– Justifier que i(t) tend vers une valeur limite i lim quand t devient grand.
– Exprimer littéralement puis calculer i lim , v lim et u lim .
f. La résolution de l’équation (dif ) permet de tracer les courbes suivantes où sont représentées les grandeurs i(t) en mA et v(t) en rad.s
−1 pour t variant de 0 à 2 s.
0
0
50
100
150
200
250
0,5
1
1,5
2
2,5
3 t (s)
– 150
– 100
– 50
0
50
100
0,5
1
1,5
t (s)
courbe 1
courbe 2
f.1. Identifier chacune des courbes en justifiant qualitativement votre réponse.
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