i
i
i
i
i
i
i
i
Montrer que le champ magnétique au point M peut se mettre sous la forme :
B(x) = f (z = d/2 1 x) 1 f (z = d/2 − x) où f (z) est une fonction que l’on définira. En
effectuant un développement limité de B(x) pour x petit, faisant intervenir les dérivées
première, seconde et troisième de la fonction f (z) que l’on ne cherchera pas à exprimer,
montrer que pour une certaine valeur de d, que l’on exprimera en fonction de a, le champ
magnétique se met sous la forme :
B(x) = 2f (d/2) 1 o(x
3 ).
A.N. Avec les valeurs numériques précédentes, calculer, dans cette configuration, le champ
magnétique au point O milieu de O 1 O 2 , et celle du champ magnétique au centre de l’une
des deux bobines. Conclure.
Potentiel vecteur. Flux et circulation du champ magnétique
Exercice 24 Potentiel vecteur d’un solénoïde et relations
de passage
On considère un circuit composé de spires jointives enroulées sur un cylindre de longueur
infinie, parcourues par un courant d’intensité I . Soit n le nombre de spires par unité de
longueur.
1. Quelle est la direction de
− →
B en un point quelconque ?
A
I
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
cas 3
cas 2
cas 1
2. On définit un contour
fermé ABCD et on applique
le théorème d’Ampère à la
circulation de
− →
B sur ce
contour. En admettant que
le champ
− →
B soit nul à l’infini, en dehors du cylindre,
montrer que
− →
B est uniforme à l’intérieur (cas 1) et
nul à l’extérieur. Calculer son module à l’intérieur (cas 3) et déterminer son sens.
3. Ce solénoïde peut être considéré comme une nappe conductrice cylindrique parcourue
par un courant en surface de densité surfacique
− →
j s . Déterminer
− →
j s .Vérifier la relation de
passage pour le champ magnétique à la traversée d’une surface parcourue par un courant.
4.a. Quelle est la direction du potentiel-vecteur
− →
A (M) à l’intérieur et à l’extérieur du
solénoïde ?
b. Déterminer
− →
A en utilisant une relation locale. On utilisera l’expression du rotationnel
en coordonnées cylindriques donnée dans le paragraphe 7 du cours.
c. Déterminer
− →
A en utilisant une relation intégrale.
d. Connaissez-vous une troisième méthode pour déterminer
− →
A ? Comparer les méthodes.
2. ÉLECTROMAGNÉTISME
175
i
i
i
i
i
i
i
Montrer que le champ magnétique au point M peut se mettre sous la forme :
B(x) = f (z = d/2 1 x) 1 f (z = d/2 − x) où f (z) est une fonction que l’on définira. En
effectuant un développement limité de B(x) pour x petit, faisant intervenir les dérivées
première, seconde et troisième de la fonction f (z) que l’on ne cherchera pas à exprimer,
montrer que pour une certaine valeur de d, que l’on exprimera en fonction de a, le champ
magnétique se met sous la forme :
B(x) = 2f (d/2) 1 o(x
3 ).
A.N. Avec les valeurs numériques précédentes, calculer, dans cette configuration, le champ
magnétique au point O milieu de O 1 O 2 , et celle du champ magnétique au centre de l’une
des deux bobines. Conclure.
Potentiel vecteur. Flux et circulation du champ magnétique
Exercice 24 Potentiel vecteur d’un solénoïde et relations
de passage
On considère un circuit composé de spires jointives enroulées sur un cylindre de longueur
infinie, parcourues par un courant d’intensité I . Soit n le nombre de spires par unité de
longueur.
1. Quelle est la direction de
− →
B en un point quelconque ?
A
I
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
cas 3
cas 2
cas 1
2. On définit un contour
fermé ABCD et on applique
le théorème d’Ampère à la
circulation de
− →
B sur ce
contour. En admettant que
le champ
− →
B soit nul à l’infini, en dehors du cylindre,
montrer que
− →
B est uniforme à l’intérieur (cas 1) et
nul à l’extérieur. Calculer son module à l’intérieur (cas 3) et déterminer son sens.
3. Ce solénoïde peut être considéré comme une nappe conductrice cylindrique parcourue
par un courant en surface de densité surfacique
− →
j s . Déterminer
− →
j s .Vérifier la relation de
passage pour le champ magnétique à la traversée d’une surface parcourue par un courant.
4.a. Quelle est la direction du potentiel-vecteur
− →
A (M) à l’intérieur et à l’extérieur du
solénoïde ?
b. Déterminer
− →
A en utilisant une relation locale. On utilisera l’expression du rotationnel
en coordonnées cylindriques donnée dans le paragraphe 7 du cours.
c. Déterminer
− →
A en utilisant une relation intégrale.
d. Connaissez-vous une troisième méthode pour déterminer
− →
A ? Comparer les méthodes.
2. ÉLECTROMAGNÉTISME
175