i
i
i
i
i
i
i
i
α 1
α 2
z
M
I
P
dz
α
On considère une épaisseur dz
de spires au point P de cote z
et un point M sur l’axe à partir duquel les extrémités du solénoïde sont vues sous un angle a 1
et a 2 (orientés positivement dans le sens indiqué sur la figure).
1. Déterminer l’expression du champ
− →
B (M) en un point M quelconque de l’axe en
fonction de a 1 et a 2 .
2. Quelle est, en fonction de a et de la longueur L du solénoïde, la valeur du champ
au centre de celui-ci. Que devient cette valeur si le solénoïde est infiniment long ? Pour
quelles valeurs du rapport L/2a peut-on considérer que le champ au centre diffère de
moins de 1 % de celui du solénoïde infiniment long ?
3. Montrer qu’à l’intérieur et à l’extérieur d’un solénoïde infiniment long le champ
magnétique est uniforme ; quelles sont ses valeurs respectives
− →
B i et
− →
B e ? Le champ est-il
continu ? Commenter.
Exercice 23 Les bobines de Helmholtz (d’après CAPES interne 1994)
1. On considère une spire circulaire de rayon a parcourue par un courant d’intensité I . Les
notations sont les mêmes que celles définies dans l’exercice 21. Rappeler l’expression du
champ magnétique en un point de l’axe de la spire puis, en reprenant les résultats de cet
exercice, vérifier que la courbe B(z) présente un point d’inflexion pour z = a/2. Donner
la valeur numérique du rapport B(z = a/2)/B(z = 0).
A.N. Comparer à la valeur de la composante horizontale du champ magnétique terrestre
B T = 2.10
−5 T, la valeur du champ magnétique créé au centre par une bobine plate
comportant N = 130 spires de rayon moyen a = 15,0 cm, parcourue par un courant
d’intensité I = 1,70 A.
a
I
x
O
M
a
O 1
O 2
x
N spires
N spires
I
d
2. On considère un dispositif constitué
de deux bobines plates, identiques à celle
étudiée précédemment, de même rayon
a, de même axe et comportant chacune
N spires. Il est représenté sur la figure
ci-contre. Chacune de ces deux bobines
est parcourue par un courant électrique
constant, de même intensité I et de
même sens. La distance entre les centres
O 1 et O 2 des bobines vaut d. On appelle
O le milieu de O 1 O 2 et x la distance d’un point M, sur l’axe, au point O. On se propose
de montrer que pour une certaine valeur de d, que l’on exprimera en fonction de a, le
champ magnétique varie très peu sur l’axe au voisinage du point O : le dispositif est alors
appelé « bobines de Helmholtz ».
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i
i
i
i
i
i
i
α 1
α 2
z
M
I
P
dz
α
On considère une épaisseur dz
de spires au point P de cote z
et un point M sur l’axe à partir duquel les extrémités du solénoïde sont vues sous un angle a 1
et a 2 (orientés positivement dans le sens indiqué sur la figure).
1. Déterminer l’expression du champ
− →
B (M) en un point M quelconque de l’axe en
fonction de a 1 et a 2 .
2. Quelle est, en fonction de a et de la longueur L du solénoïde, la valeur du champ
au centre de celui-ci. Que devient cette valeur si le solénoïde est infiniment long ? Pour
quelles valeurs du rapport L/2a peut-on considérer que le champ au centre diffère de
moins de 1 % de celui du solénoïde infiniment long ?
3. Montrer qu’à l’intérieur et à l’extérieur d’un solénoïde infiniment long le champ
magnétique est uniforme ; quelles sont ses valeurs respectives
− →
B i et
− →
B e ? Le champ est-il
continu ? Commenter.
Exercice 23 Les bobines de Helmholtz (d’après CAPES interne 1994)
1. On considère une spire circulaire de rayon a parcourue par un courant d’intensité I . Les
notations sont les mêmes que celles définies dans l’exercice 21. Rappeler l’expression du
champ magnétique en un point de l’axe de la spire puis, en reprenant les résultats de cet
exercice, vérifier que la courbe B(z) présente un point d’inflexion pour z = a/2. Donner
la valeur numérique du rapport B(z = a/2)/B(z = 0).
A.N. Comparer à la valeur de la composante horizontale du champ magnétique terrestre
B T = 2.10
−5 T, la valeur du champ magnétique créé au centre par une bobine plate
comportant N = 130 spires de rayon moyen a = 15,0 cm, parcourue par un courant
d’intensité I = 1,70 A.
a
I
x
O
M
a
O 1
O 2
x
N spires
N spires
I
d
2. On considère un dispositif constitué
de deux bobines plates, identiques à celle
étudiée précédemment, de même rayon
a, de même axe et comportant chacune
N spires. Il est représenté sur la figure
ci-contre. Chacune de ces deux bobines
est parcourue par un courant électrique
constant, de même intensité I et de
même sens. La distance entre les centres
O 1 et O 2 des bobines vaut d. On appelle
O le milieu de O 1 O 2 et x la distance d’un point M, sur l’axe, au point O. On se propose
de montrer que pour une certaine valeur de d, que l’on exprimera en fonction de a, le
champ magnétique varie très peu sur l’axe au voisinage du point O : le dispositif est alors
appelé « bobines de Helmholtz ».
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