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e. A.N. un électron libre, de vitesse initiale négligeable, est initialement accéléré sous une
d.d.p. DV = 10 kV. Quelle est alors sa vitesse v o au moment où il est injecté dans un
appareil de Crookes dans lequel règne un champ magnétique B = 5.10
−3 T. Que valent
R et T ?
Stabilité de la trajectoire : pour étudier les petits mouvements de la particule au voisinage de
l’orbite d’équilibre dans le champ
− →
B , il est commode de se placer en coordonnées cylindriques (r, u, z) et de considérer les petites variations autour des grandeurs d’équilibre :
r = R 1 e ;
du
dt
= −v C 1 v
; z = 0 1 z
2.a. Projeter l’équation du mouvement sur les trois axes − → u r , − → u u et − → u z en introduisant la
grandeur algébrique v C = qB/m, dont la valeur absolue est la pulsation cyclotron 2p/T .
b. Montrer que la projection sur −
→ u u conduit, en se limitant aux termes d’ordre un, à une
relation simple entre les variations e du rayon et v
de la vitesse angulaire.
c. En déduire que la projection sur − → u r conduit alors à une équation différentielle du
second ordre en e ; conclure quant à la stabilité radiale et à la stabiblité orthoradiale.
d. Qu’en est-il de la stabilité axiale pour v oz quelconque ?
Exercice 14 Effet Hall dans un ruban conducteur (d’après agrégation,
option chimie, 2002)
z
x
y
B
a
b
I
A
C
Une plaquette conductrice de
grande longueur suivant Ox, de largeur a et d’épaisseur b, est parcourue par un courant d’intensité
I réparti uniformément sur toute la
section droite.
En présence d’un champ magnétique uniforme et permanent
− →
B = B − → u z perpendiculaire au ruban, les lignes de courant restent, en régime permanent, des droites parallèles à Ox. AC est un segment parallèle à Oy.
1. En raisonnant qualitativement sur un porteur mobile de charge q (positive ou négative),
montrer qu’une différence de potentiel V h = V A − V C prend naissance entre les points A
et C des deux côtés de la plaquette ; quel est son signe ? dépend-il de celui de q ?
2. Donner le champ de Hall
− →
E h puis calculer algébriquement la tension de Hall V h qui
apparaît aux extrémités du segment AC en fonction de I , B, b et R h = 1/nq, constante
de Hall, où n est le nombre de porteurs par unité de volume.
3. Le matériau est un conducteur métallique, le cuivre, de masse volumique r et de masse
molaire M dont on admet que chaque atome met en jeu un électron libre.
– Donner l’expression puis la valeur numérique de n.
– En déduire la valeur de la constante de Hall R h .
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e. A.N. un électron libre, de vitesse initiale négligeable, est initialement accéléré sous une
d.d.p. DV = 10 kV. Quelle est alors sa vitesse v o au moment où il est injecté dans un
appareil de Crookes dans lequel règne un champ magnétique B = 5.10
−3 T. Que valent
R et T ?
Stabilité de la trajectoire : pour étudier les petits mouvements de la particule au voisinage de
l’orbite d’équilibre dans le champ
− →
B , il est commode de se placer en coordonnées cylindriques (r, u, z) et de considérer les petites variations autour des grandeurs d’équilibre :
r = R 1 e ;
du
dt
= −v C 1 v
; z = 0 1 z
2.a. Projeter l’équation du mouvement sur les trois axes − → u r , − → u u et − → u z en introduisant la
grandeur algébrique v C = qB/m, dont la valeur absolue est la pulsation cyclotron 2p/T .
b. Montrer que la projection sur −
→ u u conduit, en se limitant aux termes d’ordre un, à une
relation simple entre les variations e du rayon et v
de la vitesse angulaire.
c. En déduire que la projection sur − → u r conduit alors à une équation différentielle du
second ordre en e ; conclure quant à la stabilité radiale et à la stabiblité orthoradiale.
d. Qu’en est-il de la stabilité axiale pour v oz quelconque ?
Exercice 14 Effet Hall dans un ruban conducteur (d’après agrégation,
option chimie, 2002)
z
x
y
B
a
b
I
A
C
Une plaquette conductrice de
grande longueur suivant Ox, de largeur a et d’épaisseur b, est parcourue par un courant d’intensité
I réparti uniformément sur toute la
section droite.
En présence d’un champ magnétique uniforme et permanent
− →
B = B − → u z perpendiculaire au ruban, les lignes de courant restent, en régime permanent, des droites parallèles à Ox. AC est un segment parallèle à Oy.
1. En raisonnant qualitativement sur un porteur mobile de charge q (positive ou négative),
montrer qu’une différence de potentiel V h = V A − V C prend naissance entre les points A
et C des deux côtés de la plaquette ; quel est son signe ? dépend-il de celui de q ?
2. Donner le champ de Hall
− →
E h puis calculer algébriquement la tension de Hall V h qui
apparaît aux extrémités du segment AC en fonction de I , B, b et R h = 1/nq, constante
de Hall, où n est le nombre de porteurs par unité de volume.
3. Le matériau est un conducteur métallique, le cuivre, de masse volumique r et de masse
molaire M dont on admet que chaque atome met en jeu un électron libre.
– Donner l’expression puis la valeur numérique de n.
– En déduire la valeur de la constante de Hall R h .
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