i
i
i
i
i
i
i
i
Relation d’Ostrogradzki : Le flux d’un vecteur
− →
A à travers une surface fermée s’écrit :
S
−
→
A ·
− →
dS =
t
(div
− →
A )dt
où t est le volume contenu dans la surface fermée S.
Divergence du champ électrostatique : en tout point M de l’espace où il existe une
densité volumique de charge r M et où règne le champ
− →
E (M), on a :
div
− →
E (M) =
r M
´ 0
Cette relation ne s’applique cependant pas si M se trouve sur une surface chargée, sur un
fil chargé ou sur une charge ponctuelle.
En coordonnées cartésiennes, la relation s’écrit :
div
− →
E =
≠E x
≠x
1
≠E y
≠y
1
≠E z
≠z
En coordonnées cylindriques :
div
− →
E =
1
r
≠(rE r )
≠r
1
≠E u
≠u
1
≠(rE z )
≠z
En coordonnées sphériques :
div
− →
E =
1
r 2
≠(r
2 E r )
≠r
1
1
r sin u
≠(sin uE u )
≠u
1
1
r sin u
≠(E w )
≠w
2.3. Propriétés du potentiel
• Équation locale
DV 1
r
´ 0
= 0
DV = div(
− − →
gradV ) est le laplacien de V . Si r = 0, DV = 0, la relation est appelée
équation de Laplace ; si r fi 0, c’est l’équation de Poisson.
En coordonnées cartésiennes :
DV =
≠
2 E x
≠x 2 1
≠
2 E y
≠y 2 1
≠
2 E z
≠z 2
En coordonnées cylindriques :
DV =
1
r
≠
≠r
r
≠V
≠r
1
≠
≠u
1
r
≠V
≠u
1
≠
≠z
r
≠V
≠z
En coordonnées sphériques :
DV =
1
r 2
≠
≠r
r
2 ≠V
≠r
1
1
r 2 sin 2 u
≠
2 V
≠w 2 1
1
r 2 sin u
≠
≠u
sin u
≠V
≠u
2. ÉLECTROMAGNÉTISME
129