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i
Relation de Stockes : la circulation d’un vecteur
− →
A le long d’un contour fermé G s’écrit :
G
− →
A ·
− →
d =
S
(
− →
rot
− →
A ) · − → n dS
où S est une surface quelconque s’appuyant sur le contour fermé G.
Rotationnel du champ électrostatique : en tout point M de l’espace, on a :
− →
rot
− →
E (M) =
− →
0
En coordonnées cartésiennes, cette relation s’écrit :
(
− →
rot
−
→
E ) x =
≠E z
≠y
−
≠E y
≠z
= 0
(
− →
rot
−
→
E ) y =
≠E x
≠z
−
≠E z
≠x
= 0
(
− →
rot
−
→
E ) z =
≠E y
≠x
−
≠E x
≠y
= 0
En coordonnées cylindriques :
(
− →
rot
− →
E ) r =
1
r
≠E z
≠u
−
≠E u
≠z
= 0
(
− →
rot
− →
E ) u =
≠E r
≠z
−
≠E z
≠r
= 0
(
− →
rot
− →
E ) z =
1
r
≠(rE u )
≠r
−
1
r
≠E r
≠u
= 0
En coordonnées sphériques :
(
− →
rot
− →
E ) r =
1
r sin u
≠(E w sin u)
≠u
−
≠E u
≠w
= 0
(
− →
rot
− →
E ) u =
1
r sin u
≠E r
≠w
−
1
r
≠(rE w )
≠r
= 0
(
− →
rot
− →
E ) w =
1
r
≠(rE w )
≠r
−
≠E r
≠u
= 0
2.2. Expression locale du théorème de Gauss
Divergence d’un champ vectoriel : La divergence d’un vecteur
− →
A , au point M i , est égale
à la limite, quand le volume Dt tend vers zéro, du flux de
− →
A sortant d’une surface fermée
DS i , entourant M i , divisée par le volume Dt contenu dans DS i :
div
− →
A Mi = Lim
Dt−→0
DF i
Dt
128