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Théorème de Gauss : Le flux du champ électrostatique, créé par une charge ponctuelle q, sortant d’une surface fermée quelconque ne contenant pas q, est nul.
– Le flux du champ électrostatique, créé par une charge ponctuelle q, sortant d’une surface fermée
quelconque contenant q, vaut q/´ 0 .
– Généralisation :
F =
S
− →
E · − → n dS =
q int
´ 0
où
q int représente la somme des charges sources situées à l’intérieur de la surface fermée S.
• Utilisation pour les calculs de champ ou de potentiel électrosatiques
Ce théorème est très utile dans le cas de symétries fortes (cylindriques ou sphériques).
Pour calculer le champ ou le potentiel, il faut alors suivre le schéma directeur suivant :
E
Σq i
charges
sources
direction de E
et variables
dont dépend
sa norme
choix de
la surface
de Gauss S
Φ E/S
Σq int
V
– passant par M
– telle que E = Cte sur S
– telle que E soit // ou à S
E.dl = V A – V B
E = grad V
A
B
symétries
Théorème
de Gauss
ou
2. LES ÉQUATIONS LOCALES DE L’ÉLECTROSTATIQUE
2.1. Circulation conservative
• Conséquence de
− →
E = −
− − →
grad V
En coordonnées cartésiennes, cette égalité conduit aux relations
≠E z
≠y
−
≠E y
≠z
= 0 ;
≠E x
≠z
−
≠E z
≠x
= 0 ;
≠E y
≠x
−
≠E x
≠y
= 0. On cherche ensuite une expression vectorielle
qui admet ces trois relations comme projections sur trois axes. On introduit l’opérateur
« rotationnel ».
• Notion de rotationnel
n i
A Mi
M i
Γ i
La projection du vecteur
− →
rot
− →
A , au point M i , selon la normale à la
surface orientée DS i , est égale à la circulation DC i du vecteur
− →
A sur
le contour fermé G i , limitant DS i , divisée par la surface DS i , ceci
quand DS i tend vers zéro :
(
− →
rot
− →
A Mi ) · − → n i = Lim DSi−→0
DC i
DS i
.
2. ÉLECTROMAGNÉTISME
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