solutions des exercices
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Un réacteur de poussée double sera moins performant (jusqu’à environ 5M) si l’augmentation de poussée n’est obtenue qu’en doublant le débit, mais beaucoup plus performant
si elle est obtenue en doublant la vitesse d’éjection.
Enfin le réacteur de poussée quadruple n’est pas forcément plus efficace.
Une optimisation de la fusée met en jeu des effets compétitifs dont rendent compte les
termes qui entrent dans l’expression de z f . Ainsi, une augmentation du débit n’est pas
toujours favorable, car la phase de poussée dure ainsi moins longtemps. L’optimisation
d’un réacteur de poussée et de vitesse d’éjection fixée consiste à choisir la masse de
propergol à embarquer de manière à se placer au maximum de la courbe donnant z f en
fonction de m 0 .
y
L
h
z
B
C
D
A
26 1. Mur rectangulaire
La relation fondamentale de l’hydrostatique
s’écrit :
− − →
gradP = r − → g
où r est la masse volumique du fluide, P la
pression en un point du fluide et − → g le champ
de pesanteur. Le fluide étant homogène, et le
champ de pesanteur uniforme, cette relation s’intègre en P(z) = P a 1 rg(h − z), où
P a désigne la pression atmosphérique. On vérifie que la pression augmente lorsque l’on
s’enfonce dans l’eau (z diminue). Seul le second terme entre en ligne de compte dans le
calcul des forces de pression dues à l’eau du barrage, car le premier est compensé par la
pression atmosphérique subie par la partie droite du mur.
Le morceau de mur hachuré sur le schéma, de largeur l, et de hauteur dz subit une force
pressante élémentaire, normale à l’élément de surface,
d
− →
F = rg(h − z)dS
u y = rg(h − z)ldz
u y .
Le mur délimité par les points ABCD subit donc une force totale :
− →
F =
h
0
rgl(h − z)dz
u y = rgl
h
2
2
u y
On retiendra que cette force ne dépend pas de la longueur L de la retenue d’eau et qu’elle
croît comme le carré de la profondeur.
2. Mur cylindrique
La surface élémentaire (infiniment petit du second ordre) hachurée sur le dessin subit une
force :
d
2 − →
F = P(z)d
2 − →
S = P(z)dz
l
2
du − → u = P(z)dz
l
2
du
cos u
u x 1 sin u
u y
La bande semi-circulaire de hauteur dz subit une force élémentaire (infiniment petit du
premier ordre) :
d
− →
F =
u=p
u=0
P(z)dz
l
2
du
cos u
u x 1 sin u
u y
= P(z)ldz
u y .
1. MÉCANIQUE
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Un réacteur de poussée double sera moins performant (jusqu’à environ 5M) si l’augmentation de poussée n’est obtenue qu’en doublant le débit, mais beaucoup plus performant
si elle est obtenue en doublant la vitesse d’éjection.
Enfin le réacteur de poussée quadruple n’est pas forcément plus efficace.
Une optimisation de la fusée met en jeu des effets compétitifs dont rendent compte les
termes qui entrent dans l’expression de z f . Ainsi, une augmentation du débit n’est pas
toujours favorable, car la phase de poussée dure ainsi moins longtemps. L’optimisation
d’un réacteur de poussée et de vitesse d’éjection fixée consiste à choisir la masse de
propergol à embarquer de manière à se placer au maximum de la courbe donnant z f en
fonction de m 0 .
y
L
h
z
B
C
D
A
26 1. Mur rectangulaire
La relation fondamentale de l’hydrostatique
s’écrit :
− − →
gradP = r − → g
où r est la masse volumique du fluide, P la
pression en un point du fluide et − → g le champ
de pesanteur. Le fluide étant homogène, et le
champ de pesanteur uniforme, cette relation s’intègre en P(z) = P a 1 rg(h − z), où
P a désigne la pression atmosphérique. On vérifie que la pression augmente lorsque l’on
s’enfonce dans l’eau (z diminue). Seul le second terme entre en ligne de compte dans le
calcul des forces de pression dues à l’eau du barrage, car le premier est compensé par la
pression atmosphérique subie par la partie droite du mur.
Le morceau de mur hachuré sur le schéma, de largeur l, et de hauteur dz subit une force
pressante élémentaire, normale à l’élément de surface,
d
− →
F = rg(h − z)dS
u y = rg(h − z)ldz
u y .
Le mur délimité par les points ABCD subit donc une force totale :
− →
F =
h
0
rgl(h − z)dz
u y = rgl
h
2
2
u y
On retiendra que cette force ne dépend pas de la longueur L de la retenue d’eau et qu’elle
croît comme le carré de la profondeur.
2. Mur cylindrique
La surface élémentaire (infiniment petit du second ordre) hachurée sur le dessin subit une
force :
d
2 − →
F = P(z)d
2 − →
S = P(z)dz
l
2
du − → u = P(z)dz
l
2
du
cos u
u x 1 sin u
u y
La bande semi-circulaire de hauteur dz subit une force élémentaire (infiniment petit du
premier ordre) :
d
− →
F =
u=p
u=0
P(z)dz
l
2
du
cos u
u x 1 sin u
u y
= P(z)ldz
u y .
1. MÉCANIQUE
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