solutions des exercices
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Remarque : écrire que la vitesse des gaz éjectés est − → u 1
− →
V (t) et non − → u 1
− →
V (t) 1 d
− →
V
revient à négliger un terme du second ordre (en dmd
− →
V dans
p gaz ). Cela est naturellement
cohérent avec le fait de négliger le terme du second ordre dans
p f .
− →
p (t 1 dt) −
− →
p (t) = md
− →
V − − → u dm ⇒
d
− →
p
dt
= m
d
− →
V
dt
− − → u
dm
dt
La relation fondamentale de la dynamique s’écrit dans R t
d
− →
p
dt
= f e , où f e désigne la
résultante des forces extérieures subies par la fusée ; On a donc :
m(t)
d
− →
V
dt
= f e − − → u D
où le débit des gaz éjectés est D = −
dm
dt
> 0.
− →
P = − − → u D peut être interprété comme
une force dirigée en sens inverse de la vitesse d’éjection du gaz (propulsion dite « par
réaction ») appelée poussée.
2. Condition de décollage : la fusée, placée sur le pas de tir, est soumise à la résultante des
actions de contact
− →
R et à son poids
− →
P = (M 1 m 0 ) − → g , où m 0 désigne la masse initiale
de propergol (combustible).
À t = 0, le réacteur est mis en marche et l’on a :
(M 1 m 0 )
d
− →
V
dt
=
− →
R 1
− →
P − − → u D.
En projection sur l’axe vertical Oz, cela conduit à :
(M 1 m 0 )
dV
dt
= R − (M 1 m 0 )g 1 uD,
où u, R et g sont notés arithmétiquement. La fusée décolle si
dV
dt
> 0, avec R → 0.
Cela n’est possible que si la poussée initiale est supérieure au poids initial, c’est-à-dire si
uD > (M 1 m 0 )g.
3. La fusée se déplaçant verticalement, la relation fondamentale de la dynamique à l’instant
t s’écrit, en projection selon Oz :
m
dV
dt
= −mg − u
dm
dt
.
Si le débit est constant pendant la totalité de la phase de combustion du propergol, on a
m(t) = M 1 m 0 − Dt. Tout le propergol est donc consommé à l’instant t f =
m 0
D
.
Comme m dépend du temps, on sépare les variables pour intégrer l’équation entre t = 0
et t t f :
dV = −gdt − u
dm
m
⇒ V (t) = −gt − u n
M 1 m 0 − Dt
M 1 m 0
1. MÉCANIQUE
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