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Le système S constitué des deux solides de masses M et m et de la poulie est déformable ;
les forces extérieures qu’il subit sont
− →
R , M − → g et m − → g . Les fils étant inextensibles, le travail
des forces intérieures
− →
T , −
− →
T ,
− →
T
, −
− →
T
est nul. De plus les liaisons avec l’extérieur
− →
R
ne travaillent jamais, et les poids dérivent d’une énergie potentielle. L’énergie mécanique
de S est donc conservative.
Son énergie cinétique totale à un instant donné est :
E C =
1
2
MV
2 1
1
2
mV
2 1
1
2
J v
2 =
1
2
M 1 m 1
J
r 2
V
2
où V est la vitesse de l’une des masses et v = ˙
u =
V
r
.
L’énergie potentielle associée aux forces extérieures est E p = −mgy 1 C
te , (où (-y) repère
l’altitude du centre de gravité de la masse m, avec V =
dy
dt
).
L’énergie mécanique est :
E m =
1
2
M 1 m 1
J
r 2
V
2
− mgy 1 Cte
La conservation de l’énergie mécanique
dE m
dt
= 0 donne immédiatement la valeur
a 1 = a 2 =
dV
dt
trouvée par la méthode dynamique.
25 1.
V
V + dV
u + V + dV
Référentiel terrestre (supposé galiléen)
Instant t
m(t) est la masse totale de la fusée en
translation à la vitesse
− →
V (t). Le vecteur
quantité de mouvement est
− →
p (t) = m(t)
− →
V (t)
Instant t 1 dt
Le système étudié à l’instant t est maintenant constitué de deux parties :
a) Fusée de masse m(t) 1 dm en translation
à la vitesse
− →
V (t) 1d
− →
V . De vecteur quantité
de mouvement
p f = (m(t) 1 dm)
− →
V (t) 1 d
− →
V
b) Gaz éjectés, de masse −dm > 0, de
vitesse − → u par rapport à la fusée, donc
− → u 1
− →
V (t) 1 d
− →
V par rapport à la terre,
de quantité de mouvement :
p gaz = −dm
− → u 1
− →
V (t) 1 d
− →
V
On a donc :
− →
p (t 1 dt) = m(t)
− →
V (t) 1 md
− →
V − − → u dm
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