solutions des exercices
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– Si f 0 < f S , la condition de non glissement conduit à :
2(M 1 m)D − f 0 (Mh 1 2mR)
2(M 1 2m)D
G
R
< f 0
Mg
2
Donc, si le coefficient de frottement est inférieur au seuil, le couple moteur doit être
borné supérieurement pour qu’il n’y ait pas de patinage :
G <
Mg
2
2RDf 0 (M 1 2m)
2D(M 1 m) − f 0 (2mR 1 Mh)
b. Il est ainsi bien connu que lorsque f 0 est très faible, par exemple sur une route verglacée,
il faut éviter de conduire en première, car c’est en première que le couple G est le plus
élevé, donc le risque de patinage maximal.
O
N
R ba
T
mg
G
I
x
y
z
+
22 1. La relation fondamentale de
la dynamique appliquée à la bille
s’écrit, dans le référentiel galiléen R g ,
m − → g 1
− →
T 1
− →
N = m
a G où
a G désigne
l’accélération du centre d’inertie de la bille ;
sa projection sur les axes parallèle et perpendiculaire à la ligne de plus grande pente du
plan incliné conduit aux deux relations :
N = mg cos a
et
m
d
2 x G
dt 2 = mg sin a 1 T
où T est algébrique. Le théorème du moment cinétique en G s’écrit :
d − → s G
dt
=
M G (
F ext ) =
M G (
− →
T ) =
− →
GI ∧
− →
T
En l’absence de pivotement, le mouvement de la bille dans le référentiel barycentrique est une rotation autour d’un axe passant par G et parallèle à Oz, de sorte que
− → s G = J D G
− → v =
2
5
mr
2 v
u z . Le théorème du moment cinétique conduit donc à une
troisième relation :
2
5
mr
dv
dt
= T
2.a. La condition de roulement sans glissement impose à la vitesse du point de contact I
de la bille avec le plan incliné d’être nulle. Compte tenu de la composition des vitesses :
V I (R g ) =
V G (R g ) 1
V I (R ba ) =
V G 1
− →
IG ∧ − → v
1. MÉCANIQUE
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