i
i
i
i
i
i
i
i
soit
dx G
dt
= −rv. On vérifie que le signe est correct : si la bille descend la pente
dx G
dt
est positif et elle doit alors tourner sur elle-même dans le sens négatif (celui des aiguilles
d’une montre sur le schéma) ce qui se traduit par v < 0.
b. Compte tenu de la condition de roulement sans glissement, le théorème du moment
cinétique permet d’écrire :
T = −
2
5
m
d
2 x G
dt 2 .
En reportant cette expression de T dans la relation fondamentale de la dynamique, on
obtient m
d
2 x G
dt 2 = mg sin a −
2
5
m
d
2 x G
dt 2 , ce qui donne
d
2 x G
dt 2 =
5
7
g sin a
Dans ces conditions, le mouvement du centre d’inertie de la bille est rectiligne uniformément varié, d’accélération inférieure à celle qu’aurait un point matériel sur le même plan
incliné ; on notera qu’il ne dépend ni de la masse ni du rayon de la bille.
c. On en déduit la valeur de la composante tangentielle de la réaction du support :
T = −
2
7
mg sin a ;
on a par ailleurs trouvé que N = mg cos a. Les lois de Coulomb du frottement imposent
que
− →
T
− →
N
< f pour qu’il n’y ait pas glissement, ce qui conduit à
2
7
tan a < f .
En clair, le roulement sans glissement n’est possible que si l’angle a est inférieur à la valeur
limite
a l = arctan
7
2
f
.
d. Si la vitesse de G et sa position sont nulles à t = 0, l’équation horaire de son mouvement
est :
x G =
5
14
g sin a.t
2
L’énergie cinétique de la bille est donnée par le théorème de Koenig
E C (R g ) =
1
2
MV
2
G 1 E C (R ba ),
où E C (R ba ) =
1
2
J D G v
2 . Dans le cas du roulement sans glissement,
dx G
dt
= −rv permet
d’écrire :
E C (R) =
7
10
mV
2
G .
La différence d’énergie cinétique entre t = 0 et t vaut DE C =
7
10
mV
2
G .
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