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Les réactions tangentielles s’expriment alors facilement en fonction du couple moteur G,
du rayon des roues, de m et de M.
T 2 = −
m
(M 1 2m)
G
R
et
T 1 =
M 1 m
(M 1 2m)
G
R
On notera que T 2 est négatif et T 1 positif.
c. Théorème du moment cinétique pour S :
d − → s G (S)
dt
=
M G (
− →
F ) =
−→
GI 1 ∧ (
T 1 1
N 1 ) 1
−→
GI 2 ∧ (
T 2 1
N 2 )
2mRa
u y = (−D
u x − h
u z ) ∧ (T 1
u x 1 N 1
u z ) 1 (D
u x − h
u z ) ∧ (T 2
u x 1 N 2
u z )
2mRa = D(N 1 − N 2 ) − h(T 1 1 T 2 )
Ce résultat permet de calculer les composantes normales des actions de contact, compte
tenu des égalités issues de la relation fondamentale de la dynamique :
N 1 1 N 2 = Mg
et
T 1 1 T 2 = Ma.
On a :
(2mR 1 Mh)a = D(N 1 − N 2 )
Mg = N 1 1 N 2
⇒
N 1 =
Mg
2
1
(Mh 1 2mR)
2RD(M 1 2m)
G
N 2 =
Mg
2
−
(Mh 1 2mR)
2RD(M 1 2m)
G
La différence entre N 1 et N 2 est directement proportionnelle au couple moteur G et à
un facteur de forme (inverse d’une longueur) a =
(Mh 1 2mR)
2RD(M 1 2m)
qui ne dépend que
de la géométrie de la moto et des masses. N 2 ne pouvant pas devenir négatif, le cas où
N 2 = 0 correspond à la limite où la roue avant décolle. Cette situation s’observe lorsqu’on
démarre « brutalement » à savoir si le couple moteur est tel que G
Mg
2a
, la condition de
non glissement restant évidemment réalisée.
4.a. La roue arrière ne patinera pas tant que la condition de glissement n’est pas réalisée,
c’est-à-dire, d’après les lois de Coulomb :
T 1 < f 0
N 1
soit :
M 1 m
(M 1 2m)
G
R
< f 0
Mg
2
1 Ga
ce qu’on peut réécrire :
G
(M 1 2m)R
M 1 m − f 0
2mR 1 hM
2D
< f 0
Mg
2
En posant f S =
2(M 1 m)D
(Mh 1 2mR)
, deux cas se présentent :
– Si f 0 > f S , la condition de non glissement est toujours vérifiée, puisque le terme de
gauche est négatif. Toutes choses égales par ailleurs, cette condition est d’autant plus
aisément satisfaite que le frottement entre le sol et les pneus est important.
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Les réactions tangentielles s’expriment alors facilement en fonction du couple moteur G,
du rayon des roues, de m et de M.
T 2 = −
m
(M 1 2m)
G
R
et
T 1 =
M 1 m
(M 1 2m)
G
R
On notera que T 2 est négatif et T 1 positif.
c. Théorème du moment cinétique pour S :
d − → s G (S)
dt
=
M G (
− →
F ) =
−→
GI 1 ∧ (
T 1 1
N 1 ) 1
−→
GI 2 ∧ (
T 2 1
N 2 )
2mRa
u y = (−D
u x − h
u z ) ∧ (T 1
u x 1 N 1
u z ) 1 (D
u x − h
u z ) ∧ (T 2
u x 1 N 2
u z )
2mRa = D(N 1 − N 2 ) − h(T 1 1 T 2 )
Ce résultat permet de calculer les composantes normales des actions de contact, compte
tenu des égalités issues de la relation fondamentale de la dynamique :
N 1 1 N 2 = Mg
et
T 1 1 T 2 = Ma.
On a :
(2mR 1 Mh)a = D(N 1 − N 2 )
Mg = N 1 1 N 2
⇒
N 1 =
Mg
2
1
(Mh 1 2mR)
2RD(M 1 2m)
G
N 2 =
Mg
2
−
(Mh 1 2mR)
2RD(M 1 2m)
G
La différence entre N 1 et N 2 est directement proportionnelle au couple moteur G et à
un facteur de forme (inverse d’une longueur) a =
(Mh 1 2mR)
2RD(M 1 2m)
qui ne dépend que
de la géométrie de la moto et des masses. N 2 ne pouvant pas devenir négatif, le cas où
N 2 = 0 correspond à la limite où la roue avant décolle. Cette situation s’observe lorsqu’on
démarre « brutalement » à savoir si le couple moteur est tel que G
Mg
2a
, la condition de
non glissement restant évidemment réalisée.
4.a. La roue arrière ne patinera pas tant que la condition de glissement n’est pas réalisée,
c’est-à-dire, d’après les lois de Coulomb :
T 1 < f 0
N 1
soit :
M 1 m
(M 1 2m)
G
R
< f 0
Mg
2
1 Ga
ce qu’on peut réécrire :
G
(M 1 2m)R
M 1 m − f 0
2mR 1 hM
2D
< f 0
Mg
2
En posant f S =
2(M 1 m)D
(Mh 1 2mR)
, deux cas se présentent :
– Si f 0 > f S , la condition de non glissement est toujours vérifiée, puisque le terme de
gauche est négatif. Toutes choses égales par ailleurs, cette condition est d’autant plus
aisément satisfaite que le frottement entre le sol et les pneus est important.
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