solutions des exercices
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d’où on tire l’égalité des normes des vecteurs vitesses du projectile avant et après le choc
dans R ba :
u N = − → u
N . Les vitesses de la cible étant égales à celles du projectile divisé
par k, on a évidemment aussi
u c = − → u
C .
2.a. L’énergie cinétique du projectile après le choc, dans R lab vaut :
E
C
N/R lab
=
1
2
m
− →
V
N =
1
2
m
− → u
N 1
V G
2 =
1
2
m
u
2
N 1 V
2
G 1 2u
N .V G cos a
où a désigne l’angle entre les vecteurs − → u
N et
V G . Comme
u N = − → u
N =
k
k 1 1
V 0
et V G =
1
k 1 1
V 0 , on peut écrire E
C
N/R lab
en fonction de E 0 =
1
2
mV
2
0 , de k et de a :
E
C
N/R lab
= E 0
k
2 1 1 1 2k cos a
(k 1 1)
2
Il est facile de voir que E
C
N/R lab
est toujours inférieur à E 0 (quel que soit k > 0).
x
y
z
u N'
O
b. Les vecteurs vitesse des projectiles pour
un faisceau monocinétique sont tous égaux à
V N . Il importe de réaliser que la direction
dans laquelle particule et cible vont partir
après le choc dans R ba n’est pas déterminée ;
cela revient à dire qu’il y a une infinité de
manières d’assurer à la fois la conservation
de la quantité de mouvement et de l’énergie
cinétique du système {N, C} en faisant varier
l’angle a.
La figure ci-contre montre le repérage convenable du vecteur
u N
: lorsqu’il balaie toutes
les directions de l’espace, son extrémité se
déplace sur une sphère de rayon k, avec a qui varie de 0 à p, et f qui varie de 0 à 2p. Le
problème étant invariant dans toute rotation autour de f, on appelle P(a) la probabilité
(par unité d’angle solide) pour que la direction du vecteur
u N
fasse un angle a avec
l’axe Oz, c’est-à-dire soit comprise dans la corolle représentée sur le schéma, dont l’angle
solide élémentaire vaut dV = 2p sin ada. (Il est facile de retrouver un angle solide en se
rappelant qu’il est égal à la surface définie sur la sphère, qui vaut ici le produit du périmètre
2pk sin a de la corolle par kda, divisée par le carré de son rayon, k
2 ).
La moyenne angulaire d’une grandeur scalaire A(a) dépendant de a et distribuée selon
P(a) dans toutes les directions de l’espace s’écrit : A =
p
0
P(a)A(a)2p sin ada
P(a) obéit à la condition de normalisation
p
0
P(a)2p sin ada = 1.
1. MÉCANIQUE
101
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d’où on tire l’égalité des normes des vecteurs vitesses du projectile avant et après le choc
dans R ba :
u N = − → u
N . Les vitesses de la cible étant égales à celles du projectile divisé
par k, on a évidemment aussi
u c = − → u
C .
2.a. L’énergie cinétique du projectile après le choc, dans R lab vaut :
E
C
N/R lab
=
1
2
m
− →
V
N =
1
2
m
− → u
N 1
V G
2 =
1
2
m
u
2
N 1 V
2
G 1 2u
N .V G cos a
où a désigne l’angle entre les vecteurs − → u
N et
V G . Comme
u N = − → u
N =
k
k 1 1
V 0
et V G =
1
k 1 1
V 0 , on peut écrire E
C
N/R lab
en fonction de E 0 =
1
2
mV
2
0 , de k et de a :
E
C
N/R lab
= E 0
k
2 1 1 1 2k cos a
(k 1 1)
2
Il est facile de voir que E
C
N/R lab
est toujours inférieur à E 0 (quel que soit k > 0).
x
y
z
u N'
O
b. Les vecteurs vitesse des projectiles pour
un faisceau monocinétique sont tous égaux à
V N . Il importe de réaliser que la direction
dans laquelle particule et cible vont partir
après le choc dans R ba n’est pas déterminée ;
cela revient à dire qu’il y a une infinité de
manières d’assurer à la fois la conservation
de la quantité de mouvement et de l’énergie
cinétique du système {N, C} en faisant varier
l’angle a.
La figure ci-contre montre le repérage convenable du vecteur
u N
: lorsqu’il balaie toutes
les directions de l’espace, son extrémité se
déplace sur une sphère de rayon k, avec a qui varie de 0 à p, et f qui varie de 0 à 2p. Le
problème étant invariant dans toute rotation autour de f, on appelle P(a) la probabilité
(par unité d’angle solide) pour que la direction du vecteur
u N
fasse un angle a avec
l’axe Oz, c’est-à-dire soit comprise dans la corolle représentée sur le schéma, dont l’angle
solide élémentaire vaut dV = 2p sin ada. (Il est facile de retrouver un angle solide en se
rappelant qu’il est égal à la surface définie sur la sphère, qui vaut ici le produit du périmètre
2pk sin a de la corolle par kda, divisée par le carré de son rayon, k
2 ).
La moyenne angulaire d’une grandeur scalaire A(a) dépendant de a et distribuée selon
P(a) dans toutes les directions de l’espace s’écrit : A =
p
0
P(a)A(a)2p sin ada
P(a) obéit à la condition de normalisation
p
0
P(a)2p sin ada = 1.
1. MÉCANIQUE
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