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Mécanique du point
Solution
I. Mouvement plan
1)
− →
f (r) = −G
Mm
r 2
− → u = −
K
r 2
− → u ⇒ K = GMm
2) Principe fondamental de la dynamique :
− →
f = −
K
r 2
− → u = m − → a = m
d − → v
dt
− →
L o =
−→
OM ∧ m − → v ⇒
d
− →
L o
d t
=
d
−→
OM
d t
∧ m − → v +
−→
OM ∧
d (m − → v )
d t
= ( − → v ∧ m − → v ) + (r − → u ∧ m − → a )
d
− →
L o
d t
=
− →
0 + r − → u ∧ (−m
K
r 2
− → u ) =
− →
0
d
− →
L o
d t
=
− →
0 ⇒
− →
L o =
−→
OM ∧ m − → v = vecteur constant.
À tout instant,
−→
OM et − → v sont des vecteurs perpendiculaires à un vecteur constant
− →
L o .
Donc O, M et − → v reste dans un même plan (contenant le centre des forces O et perpendiculaire au moment cinétique
− →
L o ).
3) Moment cinétique et constante des aires.
a)
− →
L o =
−→
OM ∧ m − → v = r − → u ∧ m(˙ r − → u + r ˙
u − → u u ) = mr
2 ˙
u − → u z ⇒ L o = mr
2 ˙
u
b) C = r
2 ˙
u = L o /m = constante. Cette constante est homogène à une surface par
unité de temps. En fait la surface balayée par unité de temps par le rayon
−→
OM
correspond à 2C.
c)
− →
L o = r o
− → u ∧ m − → v o = mr o v o sin a o ⇒ C = r o v o sin a o
II. Étude énergétique
1) dW =
− →
f (r) d r − → u = f (r) d r = = −G
Mm
r 2 d r = − d
−G
Mm
r
= − d(E p )
⇒ E p = −G
Mm
r
+ cte. Avec E P (∞) = 0 alors E p = −G
Mm
r
2) E C =
1
2
mv
2 =
1
2
m
˙ r
2 + r
2 ˙
u
2
=
1
2
m
˙ r
2 +
C
2
r 2
3) L’énergie mécanique E = E C + E P =
1
2
m
˙ r
2 +
C
2
r 2
+ −
K
r
. Le système est conservatif car il subit uniquement une force conservative. Cette énergie mécanique E est une
constante.
E =
1
2
m˙ r
2 + E
(r) avec E
(r) = −
K
r
+
mC
2
2r 2 (énergie potentielle effective)
4) L’énergie mécanique E o =
1
2
mv
2
o −
K
r o
correspondant à l’état initial en fonction.