Systèmes à deux corps
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III. Étude de l’énergie potentielle effective E
(r) : États liés, États de diffusion.
1)
d E
d r
=
K
r 2 −
2mC
2
2r 3 =
1
r 2
K −
mC
2
r
⇒
d E
d r
= 0 ⇒ r m =
mC
2
K
=
m(r o v o sin a o )
2
K
E
m = −
K
2
mC 2 +
K
2
2mC 2 = −
K
2
2mC 2 = −
K
2
2m(r o v o sin a o ) 2
2) E(r → 0) → ∞ et E(r → ∞) → 0
−
E
E’ m
r m
r
E échappe
E ellipse
r max
r min
Figure 9.16
3) Si E 0 alors r peut varier de 0 à l’infini. Si E < 0 alors r peut varier entre 2 valeurs
r min et r max (la masse décrit une ellipse). La masse reste prisonnière du centre de force.
Pour E = 0 : valeur limite pour échapper à l’attraction de O.
4) Lorsque E = E
m alors r = r m et donc la masse décrit un cercle
5) Applications :
a) E o =
1
2
mv
2
o −
K
r o
0, la valeur minimale de la vitesse est : V om =
2K
mr o
1/2
b) Vitesse de libération V LT de la gravitation de la Terre pour un objet se trouvant à la
surface de la Terre :
K = GMm = m.4.10
14 donc :
V LT =
2K
mR T
1
2
=
8.10
14
6,4.10 6
1
2
= 1, 12.10
4 m.s
−1 = 11, 2 km.s
−1
V LT =
2
GM
R T
1
2
= 11, 2 km.s
−1
Approche classique du trou noir : rayon de Schwarzschild d’un astre :
V LT = c =
2
GM
R
1
2
⇒ R = 2
GM
c 2 =
8.10
14
9.10 16 = 8,9.10
−3 m = 8, 9 mm.