Systèmes à deux corps
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II. Étude énergétique
1) Montrer que la force
− →
f dérive d’une énergie potentielle E P (r). Établir l’expression
de cette énergie potentielle en la prenant par convention nulle à l’infini (E P (∞) = 0)
2) Définir l’énergie cinétique E C de la masse m. L’exprimer en fonction de r, u (ou leurs
dérivées par rapport au temps) et m. En utilisant la définition de la constante des aires
C exprimer l’énergie cinétique E C en fonction de m, r, ˙ r, et C.
3) Définir l’énergie mécanique E. Le système est-il conservatif ? Que peut-on dire alors
de cette énergie mécanique E. Montrer que l’énergie mécanique E peut se mettre sous
la forme :
E =
1
2
m˙ r
2 + E
(r) avec E
(r) = −
K
r
+
mC
2
2r 2 (énergie potentielle effective)
4) Exprimer l’énergie mécanique E o de l’état initial (t = 0) en fonction de K, m, r o , v o .
III. Étude de l’énergie potentielle effective E
(r) : États liés, États de diffusion.
1) Montrer que la fonction E
(r) admet un minimum E
m pour r = r m . Exprimer E
m et
r m en fonction de K, m, r o , v o et a o .
2) Quelles sont les limites de cette fonction quand r → 0 et r → ∞. Tracer l’allure du
graphe E
m (r).
3) On a E − E
(r) =
1
2
m˙ r
2
0. Indiquer les valeurs possibles que peut prendre r si
E 0. Même question si E < 0. En déduire la condition sur E pour que la masse reste
prisonnière du centre de force (états liés) et la condition sur E pour qu’elle échappe à
l’attraction de O (états de diffusion).
4) Quelle est la nature du mouvement lorsque E = E
m .
5) Applications :
a) Quelle est, en fonction de K, m, r o la valeur minimale V om (vitesse de libération
) de v o pour que la masse m échappe au centre de force O. (la valeur limite de
l’énergie est alors : E = 0).
b) Vitesse de libération V LT de la gravitation de la Terre pour un objet se trouvant à la
surface de la Terre :
Exprimer K en fonction de la constante de gravitation
G = 6, 67.10
−11 N.m
2 .kg
−2 , M T = 6.10
24 kg,
et la masse m. En prenant r o = R T = 6 400 km, en déduire l’expression de V LT
en fonction en fonction de G, M T et R T (rayon de la terre R T = 6 400 km).
Calculer V LT .
Approche classique du trou noir : rayon de Schwarzschild d’un astre
Le premier postulat de la relativité restreinte impose une limite supérieure à la
vitesse à tout objet v < c (c = 3.10
8 m.s
−1 célérité de la lumière dans le vide).
Si la vitesse de libération d’un astre est supérieure ou égale à cette limite c alors
rien ne peut s’évader de la surface de cet astre, y compris la lumière. On dit
que l’astre est un trou noir. Déterminer le rayon R (rayon de Schwarzschild de la
Terre) qu’aurait la Terre si c’était un trou noir.
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II. Étude énergétique
1) Montrer que la force
− →
f dérive d’une énergie potentielle E P (r). Établir l’expression
de cette énergie potentielle en la prenant par convention nulle à l’infini (E P (∞) = 0)
2) Définir l’énergie cinétique E C de la masse m. L’exprimer en fonction de r, u (ou leurs
dérivées par rapport au temps) et m. En utilisant la définition de la constante des aires
C exprimer l’énergie cinétique E C en fonction de m, r, ˙ r, et C.
3) Définir l’énergie mécanique E. Le système est-il conservatif ? Que peut-on dire alors
de cette énergie mécanique E. Montrer que l’énergie mécanique E peut se mettre sous
la forme :
E =
1
2
m˙ r
2 + E
(r) avec E
(r) = −
K
r
+
mC
2
2r 2 (énergie potentielle effective)
4) Exprimer l’énergie mécanique E o de l’état initial (t = 0) en fonction de K, m, r o , v o .
III. Étude de l’énergie potentielle effective E
(r) : États liés, États de diffusion.
1) Montrer que la fonction E
(r) admet un minimum E
m pour r = r m . Exprimer E
m et
r m en fonction de K, m, r o , v o et a o .
2) Quelles sont les limites de cette fonction quand r → 0 et r → ∞. Tracer l’allure du
graphe E
m (r).
3) On a E − E
(r) =
1
2
m˙ r
2
0. Indiquer les valeurs possibles que peut prendre r si
E 0. Même question si E < 0. En déduire la condition sur E pour que la masse reste
prisonnière du centre de force (états liés) et la condition sur E pour qu’elle échappe à
l’attraction de O (états de diffusion).
4) Quelle est la nature du mouvement lorsque E = E
m .
5) Applications :
a) Quelle est, en fonction de K, m, r o la valeur minimale V om (vitesse de libération
) de v o pour que la masse m échappe au centre de force O. (la valeur limite de
l’énergie est alors : E = 0).
b) Vitesse de libération V LT de la gravitation de la Terre pour un objet se trouvant à la
surface de la Terre :
Exprimer K en fonction de la constante de gravitation
G = 6, 67.10
−11 N.m
2 .kg
−2 , M T = 6.10
24 kg,
et la masse m. En prenant r o = R T = 6 400 km, en déduire l’expression de V LT
en fonction en fonction de G, M T et R T (rayon de la terre R T = 6 400 km).
Calculer V LT .
Approche classique du trou noir : rayon de Schwarzschild d’un astre
Le premier postulat de la relativité restreinte impose une limite supérieure à la
vitesse à tout objet v < c (c = 3.10
8 m.s
−1 célérité de la lumière dans le vide).
Si la vitesse de libération d’un astre est supérieure ou égale à cette limite c alors
rien ne peut s’évader de la surface de cet astre, y compris la lumière. On dit
que l’astre est un trou noir. Déterminer le rayon R (rayon de Schwarzschild de la
Terre) qu’aurait la Terre si c’était un trou noir.