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Mécanique du point
b) DE = −G
mM T
2
1
r
−
1
r + Dr
= −G
mM T
2
Dr
r(r + Dr
≈ −G
mM T
2
Dr
r 2 .
Travail de la force de frottement sur une révolution
W(
− →
f ) = −2pr
bmv
2
h
= −2p
b
h
mM T G
On a donc :
W(
− →
f ) = −2p
b
h
mM T G = DE = −G
mM T
2
Dr
r 2 ⇒ Dr =
4pbr
2
h
Dr =
4pb(R T + h)
2
h
≈
4pbR
2
T
h
Dh =
4.p.10
−8 (6,4.10
6 )
2
1,8.10 5
= 28,6 m
Mouvement d’un point matériel dans un champ de gravitation.
Étude énergétique
On considère la Terre de masse M T et de centre O origine du référentiel géocentrique
galiléen (R). On note r la distance à O d’un point M quelconque de l’espace et on
pose :
−→
OM = r − → u . Un satellite, assimilé à un point matériel M de masse m (m M T ),
est animée dans (R) d’une vitesse − → v . Il subit uniquement la force de gravitation exercée
par la Terre :
− →
f (M) = −
K
r 2
− → u (K constante positive)
I. Mouvement plan
1) On note G la constante universelle de gravitation. Donner l’expression de K.
2) Montrer que le moment cinétique par rapport au point O de la masse m :
− →
L o =
−→
OM ∧ m − → v reste constante au cours du mouvement. En déduire que ce mouvement s’effectue dans un plan contenant le centre des forces O et perpendiculaire au
moment cinétique
− →
L o .
Dans la suite on utilisera la base cylindrique ( − → u , − → u u , − → u z ) avec − → u z vecteur unitaire suivant
la direction et le sens du moment cinétique
− →
L o = L o
− → u z et ( − → u , − → u u ) base polaire dans
le plan du mouvement. Le point M est repéré par ses coordonnées polaires r et u.
3) Moment cinétique et constante des aires.
a) Exprimer L o en fonction de r, u (ou leurs dérivées par rapport au temps) et m.
b) On définit « la constante des aires » du mouvement par C = r
2 ˙
u. Justifier le
terme « constante des aires »
c) Les conditions initiales à t = 0 du mouvement sont définies par :
r = r o ; u = u o ; − → v = v o ; a = a o avec a = angle que fait − → v avec − → u :
a = ( − → v , − → u )
Exprimer L o en fonction de m, r o , v o et sin a o et en déduire l’expression de la
constante C.
Mécanique du point
b) DE = −G
mM T
2
1
r
−
1
r + Dr
= −G
mM T
2
Dr
r(r + Dr
≈ −G
mM T
2
Dr
r 2 .
Travail de la force de frottement sur une révolution
W(
− →
f ) = −2pr
bmv
2
h
= −2p
b
h
mM T G
On a donc :
W(
− →
f ) = −2p
b
h
mM T G = DE = −G
mM T
2
Dr
r 2 ⇒ Dr =
4pbr
2
h
Dr =
4pb(R T + h)
2
h
≈
4pbR
2
T
h
Dh =
4.p.10
−8 (6,4.10
6 )
2
1,8.10 5
= 28,6 m
Mouvement d’un point matériel dans un champ de gravitation.
Étude énergétique
On considère la Terre de masse M T et de centre O origine du référentiel géocentrique
galiléen (R). On note r la distance à O d’un point M quelconque de l’espace et on
pose :
−→
OM = r − → u . Un satellite, assimilé à un point matériel M de masse m (m M T ),
est animée dans (R) d’une vitesse − → v . Il subit uniquement la force de gravitation exercée
par la Terre :
− →
f (M) = −
K
r 2
− → u (K constante positive)
I. Mouvement plan
1) On note G la constante universelle de gravitation. Donner l’expression de K.
2) Montrer que le moment cinétique par rapport au point O de la masse m :
− →
L o =
−→
OM ∧ m − → v reste constante au cours du mouvement. En déduire que ce mouvement s’effectue dans un plan contenant le centre des forces O et perpendiculaire au
moment cinétique
− →
L o .
Dans la suite on utilisera la base cylindrique ( − → u , − → u u , − → u z ) avec − → u z vecteur unitaire suivant
la direction et le sens du moment cinétique
− →
L o = L o
− → u z et ( − → u , − → u u ) base polaire dans
le plan du mouvement. Le point M est repéré par ses coordonnées polaires r et u.
3) Moment cinétique et constante des aires.
a) Exprimer L o en fonction de r, u (ou leurs dérivées par rapport au temps) et m.
b) On définit « la constante des aires » du mouvement par C = r
2 ˙
u. Justifier le
terme « constante des aires »
c) Les conditions initiales à t = 0 du mouvement sont définies par :
r = r o ; u = u o ; − → v = v o ; a = a o avec a = angle que fait − → v avec − → u :
a = ( − → v , − → u )
Exprimer L o en fonction de m, r o , v o et sin a o et en déduire l’expression de la
constante C.