Systèmes à deux corps
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La quantité de mouvement de la masse M 2 dans le référentiel barycentrique s’exprime
alors sous la forme suivante :
− →
p
∗
2 = m 2
− → v
∗
2 =
m 1 m 2
m 1 + m 2
− → v = −
− →
p
∗
1
Le coefficient qui apparaît devant le vecteur vitesse − → v et qui est homogène à une masse
est appelé masse réduite du système.
Définition
On appelle masse réduite d’un système de deux masses m 1 et m 2 , la masse m égale à :
m =
m 1 m 2
m 1 + m 2
ou
1
m
=
1
m 1
+
1
m 2
b) Expression des éléments cinétiques en fonction de la masse réduite
Les éléments cinétiques du système {m 1 , m 2 } peuvent s’exprimer de façon concise en fonction de la masse réduite du système. Nous avons en effet :
− →
p
∗
2 = m 2
− → v
∗
2 = m − → v
− →
p
∗
1 = m 1
− → v
∗
1 = −m 2
− → v
∗
2 = −m − → v
− →
L
∗ = − → r ∧ m 2
− → v
∗
2 = m − → r ∧ − → v
(9.2)
Dans le référentiel du centre de masse, l’énergie cinétique E c est la somme des énergies
cinétiques de chacune des deux masses soit :
E
∗
c =
1
2
m 1 v
∗2
1 +
1
2
m 2 v
∗2
2
Si l’on remplace − → v
∗
1 et − → v
∗
2 par leur expression en fonction de − → v , on a alors
E
∗
c =
1
2
m 1
−m − → v
m 1
2
+
1
2
m 2
m − → v
m 2
2
soit
E
∗
c =
1
2
mv
2
(9.3)
Le tableau 9.1 récapitule les expressions, en fonction de la masse réduite m =
m1m2
m1+m2
et de
la vitesse relative − → v de M 2 par rapport à M 1 , des éléments cinétiques dans le référentiel
du centre de masse.
Quantité de mouvement de M 2
− →
p
∗
2 = m − → v
Quantité de mouvement de M 1
− →
p
∗
1 = −m − → v
Quantité de mouvement totale
− →
p
∗ =
− →
0
Moment cinétique
− →
L
∗ = m − → r ∧ − → v
Energie cinétique
E
∗
c =
1
2
m 1 v
∗2
1 +
1
2
m 2 v
∗2
2 =
1
2
mv
2
Tableau 9.1 • Eléments cinétiques d’un système à deux corps exprimés dans
le référentiel barycentrique.