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Mécanique du point
3. RELATION FONDAMENTALE DE LA DYNAMIQUE
3.1. Principe fondamental de la dynamique dans R ∗
Le référentiel R
∗ est un référentiel galiléen.Il est donc possible d’y appliquer la relation
fondamentale de la dynamique sans se préoccuper d’éventuelles forces d’inertie. Cette
relation peut s’appliquer tout aussi bien à la masse m 1 qu’à la masse m 2 . Nous avons donc :
m 1
− → a M1/R ∗ = m 1
d
2 − − →
GM 1
d t 2
R ∗
=
− →
F ext =
− →
F M2→M1 =
− →
F 1
m 2
− → a M2/R ∗ = m 2
d
2 − − →
GM 2
d t 2
R ∗
=
− →
F ext =
− →
F M1→M2 =
− →
F 2
G
R
*
m 1
m 2
1
F
→
2
F
→
M 2
M 1
Figure 9.3 • Interaction entre deux masses m 1 et m 2 .
Les deux masses étant en interaction, les actions mutuelles qu’elles subissent sont opposées, ce qui conduit à :
m 1
d
2 − → r 1
d t 2
R ∗
=
− →
F 1 ; m 2
d
2 − → r 2
d t 2
R ∗
=
− →
F 2 = −
− →
F 1
avec − → r 1 =
− − →
GM 1 et − → r 2 =
− − →
GM 2 .
Nous obtenons ainsi deux équations différentielles du mouvement de ces deux masses.
Nous allons voir, dans le paragraphe suivant, que ces deux équations peuvent se combiner
entre elles pour conduire à une équation unique faisant intervenir la masse réduite du
système.
3.2. Équation maîtresse
Les deux équations que nous venons d’écrire peuvent être soit additionnées soit soustraites. Par addition, nous obtenons la relation suivante :
m 1
d
2 − → r 1
d t 2 + m 2
d
2 − → r 2
d t 2 =
− →
0 ⇒
d
2 (m 1
− → r 1 + m 2
− → r 2 )
d t 2
=
− →
0
Cette équation est valide en particulier dans le référentiel barycentrique et plus généralement dans tout référentiel galiléen. En intégrant une première fois cette relation, nous