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Mécanique du point
b) Énergie cinétique
L’énergie cinétique dans R
∗ est égale à la somme des énergies cinétiques des masses m 1 et
m 2 dans R
∗ . On a donc :
E
∗
c =
1
2
m 1 v
∗2
1 +
1
2
m 2 v
∗2
2
c) Moment cinétique
Dans R
∗ , le moment cinétique par rapport à G du système est par définition :
− →
L
∗ =
− − →
GM 1 ∧ m 1
− → v
∗
1 +
− − →
GM 2 ∧ m 2
− → v
∗
2
Posons − → r =
−−−→
M 1 M 2 et en utilisant la relation m 1
− → v
∗
1 = −m 2
− → v
∗
2
− →
L
∗ = (
− −− →
−GM 1 +
−→
GM 2 ) ∧ m 2
− → v
∗
2 =
−−−→
M 1 M 2 ∧ m 2
− → v
∗
2 = − → r ∧ m 2
− → v
∗
2 = − − → r ∧ m 1
− → v
∗
1
Remarquons que nous venons d’exprimer le moment cinétique du système en fonction de
la distance r qui sépare les deux masses M 1 et M 2 .
2.3. Masse réduite
a) Définition
Pour définir la notion de masse réduite, nous allons déterminer l’expression de la vitesse
de la masse m 2 dans le référentiel barycentrique R
∗ . Nous utilisons la loi de composition
de vitesse qui nous permet d’écrire que :
− → v 2 = − → v
∗
2 + − → v G/R
avec :
− → v G/R =
m 1
− → v 1 + m 2
− → v 2
m 1 + m 2
Nous obtenons donc :
− → v
∗
2 = − → v 2 −
m 1
− → v 1 + m 2
− → v 2
m 1 + m 2
soit
− → v
∗
2 =
m 1
− → v 2 − − → v 1
m 1 + m 2
Le terme − → v = − → v 2 − − → v 1 apparaissant dans cette dernière expression n’est rien d’autre
que la vitesse de M 2 par rapport à M 1
− → v
∗
2 =
m 1
m 1 + m 2
− → v
On remarquera que la vitesse de M 2 par rapport à M 1 est donnée par :
− → v = − → v 2 − − → v 1 =
d
− − →
OM 2
dt
−
d
− − →
OM 1
dt
=
d(
− − →
OM 2 −
− − →
OM 1 )
dt
soit
− → v =
d
−−−→
M 1 M 2
dt
=
d − → r
dt