Cinématique du point
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3. ACCÉLÉRATION D’UN POINT MATÉRIEL
3.1. Définition
On appelle accélération d’un point matériel M par rapport à un référentiel R la dérivée
du vecteur vitesse par rapport au temps, soit :
− → a M/R =
d − → v M/R
d t
=
d
d t
(
d
−→
OM
d t
) =
d
2 −→
OM
d t 2
L’accélération est aussi la dérivée seconde de la position par rapport au temps.
3.2. Expression en coordonnées cartésiennes
Considérons une base orthonormée cartésienne
O, − → u x , − → u y , − → u z
du référentiel R servant
à définir la position du point M. L’accélération du point M dans cette base s’écrit, puisque
les vecteurs de base − → u x , − → u y , − → u z sont constants :
− → a M/R =
d − → v M/R
d t
=
d
2 −→
OM
d t 2 = ¨ x − → u x + ¨ y − → u y + ¨ z − → u z
avec la notation suivante : ¨ x =
d
2 x
d t 2 .
3.3. Expression en coordonnées polaires ou cylindriques
Si l’on utilise comme base de référence du référentiel la base polaire
− → u r , − → u u
qui est une
base qui tourne avec la position du point M dans le plan (xOy), nous avons montré que la
vitesse dans cette base s’écrit : − → v M/R = ˙
r − → u r + r ˙
u − → u u
L’accélération du point M par rapport au référentiel R s’exprime dans cette base par :
− → a M/R =
d − → v M/R
d t
=
d(˙ r − → u r + r ˙
u − → u u )
d t
= ¨
r − → u r + ˙
r
d − → u r
d t
+ ˙
r ˙
u − → u u + r ¨
u − → u u + r ˙
u
d − → u u
d t
R
M
v /
→
ρ
u
→
θ
u
→
y
x
R
M
a
→
θ
ρ
O
Figure 1.9 • Vecteurs vitesse et
accélération en coordonnées polaires.
En utilisant le théorème du vecteur unitaire tournant, il vient :
− → a M/R = (¨ r − r ˙
u
2 ) − → u r + (2˙ r ˙
u + r ¨
u) − → u u
L’accélération du point M dans cette base
a deux composantes : une composante radiale (suivant − → u r ) et une composante orthoradiale (suivant − → u u ).
En coordonnées polaires, le vecteur accélération s’écrit :
− → a M/R = (¨ r − r ˙
u
2 ) − → u r + (2˙ r ˙
u + r ¨
u) − → u u
En coordonnées cylindriques, il suffit de rajouter la troisième composante suivant l’axe Oz :
− → v M/R = ˙
r − → u r + r ˙
u − → u u + ˙ z − → u z
L’expression du vecteur accélération est obtenue en ajoutant la composante ¨ z suivant − → u z :
− → a M/R = (¨ r − r ˙
u
2 ) − → u r + 2(˙ r ˙
u + r ¨
u) − → u u + ¨ z − → u z
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3. ACCÉLÉRATION D’UN POINT MATÉRIEL
3.1. Définition
On appelle accélération d’un point matériel M par rapport à un référentiel R la dérivée
du vecteur vitesse par rapport au temps, soit :
− → a M/R =
d − → v M/R
d t
=
d
d t
(
d
−→
OM
d t
) =
d
2 −→
OM
d t 2
L’accélération est aussi la dérivée seconde de la position par rapport au temps.
3.2. Expression en coordonnées cartésiennes
Considérons une base orthonormée cartésienne
O, − → u x , − → u y , − → u z
du référentiel R servant
à définir la position du point M. L’accélération du point M dans cette base s’écrit, puisque
les vecteurs de base − → u x , − → u y , − → u z sont constants :
− → a M/R =
d − → v M/R
d t
=
d
2 −→
OM
d t 2 = ¨ x − → u x + ¨ y − → u y + ¨ z − → u z
avec la notation suivante : ¨ x =
d
2 x
d t 2 .
3.3. Expression en coordonnées polaires ou cylindriques
Si l’on utilise comme base de référence du référentiel la base polaire
− → u r , − → u u
qui est une
base qui tourne avec la position du point M dans le plan (xOy), nous avons montré que la
vitesse dans cette base s’écrit : − → v M/R = ˙
r − → u r + r ˙
u − → u u
L’accélération du point M par rapport au référentiel R s’exprime dans cette base par :
− → a M/R =
d − → v M/R
d t
=
d(˙ r − → u r + r ˙
u − → u u )
d t
= ¨
r − → u r + ˙
r
d − → u r
d t
+ ˙
r ˙
u − → u u + r ¨
u − → u u + r ˙
u
d − → u u
d t
R
M
v /
→
ρ
u
→
θ
u
→
y
x
R
M
a
→
θ
ρ
O
Figure 1.9 • Vecteurs vitesse et
accélération en coordonnées polaires.
En utilisant le théorème du vecteur unitaire tournant, il vient :
− → a M/R = (¨ r − r ˙
u
2 ) − → u r + (2˙ r ˙
u + r ¨
u) − → u u
L’accélération du point M dans cette base
a deux composantes : une composante radiale (suivant − → u r ) et une composante orthoradiale (suivant − → u u ).
En coordonnées polaires, le vecteur accélération s’écrit :
− → a M/R = (¨ r − r ˙
u
2 ) − → u r + (2˙ r ˙
u + r ¨
u) − → u u
En coordonnées cylindriques, il suffit de rajouter la troisième composante suivant l’axe Oz :
− → v M/R = ˙
r − → u r + r ˙
u − → u u + ˙ z − → u z
L’expression du vecteur accélération est obtenue en ajoutant la composante ¨ z suivant − → u z :
− → a M/R = (¨ r − r ˙
u
2 ) − → u r + 2(˙ r ˙
u + r ¨
u) − → u u + ¨ z − → u z