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Mécanique du point
3.4. Expression dans la base de Frenet
L’accélération du point M peut également s’exprimer dans la base de Frenet. Dans cette
base, la vitesse s’écrit :
− → v M/R = ˙ s − → e t
ce qui entraîne pour l’accélération :
− → a M/R = ¨ s − → e t + ˙ s
d − → e t
d t
À un instant t, au point M de la trajectoire, le vecteur de base fait un angle a avec la
direction de l’axe des x. À l’instant t + d t, ce vecteur tourne d’un angle d a (figure 1.10).
M
x
y
C
α
d α
n
e
→
Trajectoire
α
dα ds
t
e
→
+
Ω
Figure 1.10 • Base de Frenet et déplacement élémentaire.
La dérivée, par rapport au temps, de ce vecteur unitaire est donc donnée par :
d − → e t
d t
= ˙
a − → e n
De plus on a , avec R = rayon du cercle osculateur :
d s = CM d a = R d a
soit :
d a
d t
= ˙
a =
1
R
d s
d t
=
1
R
˙ s
On obtient donc :
˙ s
d − → e t
d t
= ˙ s˙ a − → e n =
˙ s
2
R
− → e n =
v
2
M/R
R
− → e n
ce qui conduit à :
− → a M/R = ¨ s − → e t +
v
2
M/R
R
− → e n
Remarques
• On pourra vérifier que ce résultat est toujours vrai quelle que soit la concavité de la
trajectoire.
• La composante normale étant toujours positive, le vecteur accélération est toujours
tourné vers la concavité de la trajectoire au point considéré.