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Mécanique du point
Ω
+
t
e
n
e
M
C
x
y
Trajectoire du point M
O
Figure 1.7 • Abscisse curviligne et base de Frenet.
La vitesse du point M est par définition :
− → v =
d
−→
OM
d t
=
d
−→
OM
d s
d s
d t
avec s =
VM (mesure algébrique sur la courbe de la distance VM).
Lorsque l’on fait varier de façon élémentaire la position du point M en décrivant la trajectoire, l’abscisse curviligne du point M passe de s à s + d s entre l’instant t et l’instant t + d t.
Le déplacement élémentaire du point M s’écrit donc :
x
M
M
O
s
t
e
→
y
s+ds
Figure 1.8 • Présentation du déplacement élémentaire sur la trajectoire curviligne.
d
−→
OM =
−−→
MM
= d s − → e t
ce qui permet d’écrire que la vitesse dans la base de Frenet est :
− → v M/R =
d s
d t
− → e t = ˙ s − → e t
Remarque. Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire peut être déterminé analytiquement
à partir de l’équation ci-dessus :
− → e t =
d
−→
OM
d s
Mécanique du point
Ω
+
t
e
n
e
M
C
x
y
Trajectoire du point M
O
Figure 1.7 • Abscisse curviligne et base de Frenet.
La vitesse du point M est par définition :
− → v =
d
−→
OM
d t
=
d
−→
OM
d s
d s
d t
avec s =
VM (mesure algébrique sur la courbe de la distance VM).
Lorsque l’on fait varier de façon élémentaire la position du point M en décrivant la trajectoire, l’abscisse curviligne du point M passe de s à s + d s entre l’instant t et l’instant t + d t.
Le déplacement élémentaire du point M s’écrit donc :
x
M
M
O
s
t
e
→
y
s+ds
Figure 1.8 • Présentation du déplacement élémentaire sur la trajectoire curviligne.
d
−→
OM =
−−→
MM
= d s − → e t
ce qui permet d’écrire que la vitesse dans la base de Frenet est :
− → v M/R =
d s
d t
− → e t = ˙ s − → e t
Remarque. Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire peut être déterminé analytiquement
à partir de l’équation ci-dessus :
− → e t =
d
−→
OM
d s