Oscillations forcées, résonance
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Montrer que si l’oscillateur est faiblement amorti (pour a <
√
2km), l’amplitude
passe par un maximum pour une pulsation excitatrice v m légèrement différente
de v o . Donner l’expression de v m .
e) Déterminer l’expression de tan f où f représente le déphasage de x(t) par
rapport à F
f) En utilisant b) et d) déduire l’expression de V o en fonction de F o , m, l =
a
m
, v o
et v.
Que se passe-t-il pour v = v o ? Quel nom porte ce phénomène ? Donner l’allure de la courbe V o = f (v).
Solution
1) Système la masse m, référentiel terrestre galiléen, forces :
− →
P ,
− →
R ,
− →
T = −kx − → u
Principe fondamental :
− →
P +
− →
R +
− →
T =
− →
0 +
− →
T = −kx − → u = m − → a ⇒ ¨ x +
k
m
x = 0
¨ x + v o x = 0 (équation différentielle de l’oscillateur harmonique) avec v o =
k
m
pulsation propre de l’oscillateur et donc T o =
2p
v o
= 2p
m
k
=
1
N o
⇒ 2pN o = v o
Solution : x(t) = X cos(v o t + f). Avec x(0) = X m et ˙ x(0) = 0,
on a : X m = X cos f et ˙ x(t) = −v o sin(v o t + f) ⇒ ˙ x(0) = 0 = −v o sin f
On obtient f = 0 et X = X m c’est à dire x(t) = X m cos(v o t)
2) La masse subit des forces de frottement fluide de la forme
− →
f = −a − → v
a) −a − → v − kx − → u = m − → a ⇒ ¨ x +
a
m
˙ x +
k
m
x = 0 (oscillateur amorti)
b) Pour a faible,
a
m
< 2v o ⇒ a < 2
√
km : Régime pseudo périodique (oscillations
avec une amplitude qui diminue exponentiellement.
Pour
a
m
= 2v o ⇒ a = 2
√
km : Régime critique, retour à l’équilibre sans oscillation le plus rapidement.
Pour a fort,
a
m
> 2v o ⇒ a > 2
√
km : Régime apériodique, retour à l’équilibre
sans oscillations.
Dans tous les cas : Retour à l’équilibre x = 0 au bout d’un certain temps (régime
transitoire)
3) On force la masse à osciller avec une pulsation v en lui appliquant une force sinusoïdale
− →
F = F. − → u avec F = F o cos vt.
a) ¨ x +
a
m
˙ x + v
2
o x =
F o
m
cos vt
b) v = ˙ x ⇒ v = −X o v sin(vt + f) = X o v cos(vt + f +
p
2
) = V o cos(vt + w)
V o = vX o
et
w = f +
p
2