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Mécanique du point
On repère la position de la masse par rapport à sa position O d’équilibre (voir figure)
u
x
O
M
l o
→
Figure 6.8
On repère la position M de la masse m à la date t par
−→
OM = x − → u .
À t = 0, on écarte la masse de x o = X m et on lâche sans vitesse initiale.
1) La masse peut se déplacer sur le plan horizontal sans frottement. Déterminer l’équation horaire x(t) du mouvement de cette masse. Comment qualifie-t-on cet oscillateur ?
Déterminer les expressions et valeurs de sa pulsation propre v o , de sa période propre
T o et de sa fréquence propre N o .
2) La masse subit des forces de frottement fluide dont la résultante est de la forme
− →
f = −a − → v
où − → v est le vecteur vitesse de m et a une constante positive.
a) Donner la nouvelle équation différentielle du mouvement de m.
b) Indiquer brièvement quels sont les 3 types de mouvement possible en fonction
de la valeur de a et représenter l’allure des graphes x(t) correspondant. Que se
passe-t-il au bout d’un temps suffisamment long ?
3) Le point M est maintenant soumis à une force supplémentaire de type sinusoïdal :
− →
F = F. − → u
avec F = F o cos vt.
a) Exprimer la nouvelle équation différentielle à laquelle obéit x(t).
La solution de cette nouvelle équation différentielle est la somme de la solution
de l’équation différentielle sans second membre qui correspond à un régime
transitoire (voir question précédente) et d’une solution particulière qui correspond au régime permanent.
En régime permanent, l’amplitude est de la forme x(t) = X o cos(vt + f) et la
vitesse v = V o cos(vt + w).
On utilisera la notation complexe :
F = F o e
jvt
x =
X o e
jvt = X o e
jf e
jvt
v =
V o e
jvt = V o e
jw e
jvt
b) Définir la vitesse v et en déduire la relation entre V o et X o et entre w et f.
c) En remplaçant, dans l’équation différentielle, x, ˙
x et ¨
x par leur expression complexe, montrer qu’on a la relation suivante :
F o =
Z
X o où
Z, appelé impédance mécanique complexe (liée au déplacement
x), ne dépend que de k, m, a et v.
d) Donner l’expression de X o en fonction de F o , m, l =
a
m
, v o et v.
Mécanique du point
On repère la position de la masse par rapport à sa position O d’équilibre (voir figure)
u
x
O
M
l o
→
Figure 6.8
On repère la position M de la masse m à la date t par
−→
OM = x − → u .
À t = 0, on écarte la masse de x o = X m et on lâche sans vitesse initiale.
1) La masse peut se déplacer sur le plan horizontal sans frottement. Déterminer l’équation horaire x(t) du mouvement de cette masse. Comment qualifie-t-on cet oscillateur ?
Déterminer les expressions et valeurs de sa pulsation propre v o , de sa période propre
T o et de sa fréquence propre N o .
2) La masse subit des forces de frottement fluide dont la résultante est de la forme
− →
f = −a − → v
où − → v est le vecteur vitesse de m et a une constante positive.
a) Donner la nouvelle équation différentielle du mouvement de m.
b) Indiquer brièvement quels sont les 3 types de mouvement possible en fonction
de la valeur de a et représenter l’allure des graphes x(t) correspondant. Que se
passe-t-il au bout d’un temps suffisamment long ?
3) Le point M est maintenant soumis à une force supplémentaire de type sinusoïdal :
− →
F = F. − → u
avec F = F o cos vt.
a) Exprimer la nouvelle équation différentielle à laquelle obéit x(t).
La solution de cette nouvelle équation différentielle est la somme de la solution
de l’équation différentielle sans second membre qui correspond à un régime
transitoire (voir question précédente) et d’une solution particulière qui correspond au régime permanent.
En régime permanent, l’amplitude est de la forme x(t) = X o cos(vt + f) et la
vitesse v = V o cos(vt + w).
On utilisera la notation complexe :
F = F o e
jvt
x =
X o e
jvt = X o e
jf e
jvt
v =
V o e
jvt = V o e
jw e
jvt
b) Définir la vitesse v et en déduire la relation entre V o et X o et entre w et f.
c) En remplaçant, dans l’équation différentielle, x, ˙
x et ¨
x par leur expression complexe, montrer qu’on a la relation suivante :
F o =
Z
X o où
Z, appelé impédance mécanique complexe (liée au déplacement
x), ne dépend que de k, m, a et v.
d) Donner l’expression de X o en fonction de F o , m, l =
a
m
, v o et v.