Oscillateurs mécaniques
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Sur le second tronçon la vitesse est ensuite positive et la masse m quitte sa position de
départ donnée par :
X 1 = −X max +
2F
k
avec une vitesse nulle. L’équation différentielle du mouvement sur ce tronçon s’écrit :
m¨ x + kx = −F
Il faut encore une fois résoudre cette équation différentielle sur ce tronçon en tenant
compte des nouvelles conditions initiales. Il est facile de voir que la solution générale
s’écrit :
x = B cos(v 0 t + f) −
F
k
À t =
T
2
=
p
v 0
, nous avons v = 0 et x = X 1 , ce qui permet de déterminer B et f. La
solution s’écrit alors :
x = (X max −
3F
k
) cos v 0 t −
F
k
Il est possible de déterminer l’équation horaire sur chaque tronçon en poursuivant ce
raisonnement. Une forme générale de la solution peut s’écrire :
x = (X max − (2p + 1)
F
k
) cos v 0 t + (−1)
p F
k
avec p ∈ N et p
T
2
t (p + 1)
T
2
.
Nous présentons sur la figure 5.14 le graphe de x(t) pour un oscillateur amorti par frottement solide. Nous observons que l’amplitude des oscillations décroît linéairement au
cours du temps, ce que l’on pouvait prévoir en observant qu’à chaque fois que le temps t
s’accroît d’une période propre T 0 l’amplitude décroît de 4F/k.
0
1 0
2 0
3 0
4 0
-0,06
-0,04
-0,02
0,00
0,02
0,04
0,06
k=0,02N.m
-1
m=0,1kg
F=0,0001N
x(t)
t (s)
Figure 5.14 • Évolution de la position d’un oscillateur amorti
par frottement solide en fonction du temps.