138
Mécanique du point
k
R
→
T
→
P
→
F
→
x
O
+
Figure 5.13 • Oscillateur horizontal à frottement solide.
Nous supposons que l’intensité de la force de frottement solide est constante au cours du
mouvement de l’oscillateur et égale à F = mR. Par projection de la RFD sur l’axe des
abscisses, nous obtenons l’équation différentielle du mouvement qui s’écrit :
m¨ x + kx = ´F avec ´ =
1 si ˙ x < 0
−1 si ˙ x > 0
Il importe de remarquer que l’équation différentielle du mouvement de m change à
chaque fois que m passe par une position d’arrêt, ce qui oblige à un peu de prudence
dans la méthode de résolution. En effet, cela revient à résoudre l’équation différentielle
par morceaux en respectant la continuité de x(t) entre chaque morceau. Nous supposons
que la masse m est à la position x = X m au temps t = 0 et qu’elle a une vitesse nulle à t = 0.
L’équation différentielle est du deuxième ordre à second membre constant. Nous utiliserons donc la même méthode que pour une équation du premier ordre à second membre
constant (voir chapitre 3).
Nous séparons le mouvement en différents tronçons correspondant au passage de la
masse m par des positions extrémales (vitesse nulle). Le premier tronçon s’effectue à vitesse négative, ce qui conduit à une équation différentielle du type :
m¨ x + kx = F
La somme de la solution particulière et de la solution de l’équation sans second membre
est une solution générale de cette équation et s’écrit :
x = A cos(v 0 t + w) +
F
k
A et w sont déterminés par les conditions initiales du mouvement qui conduisent à :
X max = A +
F
k
et w = 0
Sur le premier tronçon nous avons donc :
x = (X max −
F
k
) cos v 0 t +
F
k
Mécanique du point
k
R
→
T
→
P
→
F
→
x
O
+
Figure 5.13 • Oscillateur horizontal à frottement solide.
Nous supposons que l’intensité de la force de frottement solide est constante au cours du
mouvement de l’oscillateur et égale à F = mR. Par projection de la RFD sur l’axe des
abscisses, nous obtenons l’équation différentielle du mouvement qui s’écrit :
m¨ x + kx = ´F avec ´ =
1 si ˙ x < 0
−1 si ˙ x > 0
Il importe de remarquer que l’équation différentielle du mouvement de m change à
chaque fois que m passe par une position d’arrêt, ce qui oblige à un peu de prudence
dans la méthode de résolution. En effet, cela revient à résoudre l’équation différentielle
par morceaux en respectant la continuité de x(t) entre chaque morceau. Nous supposons
que la masse m est à la position x = X m au temps t = 0 et qu’elle a une vitesse nulle à t = 0.
L’équation différentielle est du deuxième ordre à second membre constant. Nous utiliserons donc la même méthode que pour une équation du premier ordre à second membre
constant (voir chapitre 3).
Nous séparons le mouvement en différents tronçons correspondant au passage de la
masse m par des positions extrémales (vitesse nulle). Le premier tronçon s’effectue à vitesse négative, ce qui conduit à une équation différentielle du type :
m¨ x + kx = F
La somme de la solution particulière et de la solution de l’équation sans second membre
est une solution générale de cette équation et s’écrit :
x = A cos(v 0 t + w) +
F
k
A et w sont déterminés par les conditions initiales du mouvement qui conduisent à :
X max = A +
F
k
et w = 0
Sur le premier tronçon nous avons donc :
x = (X max −
F
k
) cos v 0 t +
F
k