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Mécanique du point
Encart 5.2. Énergie d’un oscillateur amorti par frottement solide
Une autre façon très élégante de résoudre ce problème est d’utiliser l’approche énergétique. L’oscillateur étant amorti, l’énergie mécanique ne se conserve pas et décroît
progressivement au cours du temps. La variation d’énergie mécanique est égale au travail de la force de frottement entre deux positions de l’oscillateur. Il convient comme
précédemment de raisonner sur les tronçons à vitesse positive ou négative. La force de
frottement étant constante, le travail de cette force varie linéairement avec la position
de l’oscillateur. Ainsi sur le premier tronçon, la variation d’énergie mécanique entre le
point de départ x max et un point x quelconque est donnée par :
E − E 0 = E − E P0 = F(x − X max )
E =
1
2
mv
2 +
1
2
kx
2 = Fx − FX max +
1
2
kX
2
max
La position d’arrêt X 1 de l’oscillateur sur ce tronçon est obtenue en exprimant que
l’énergie cinétique de l’oscillateur en X 1 est nulle, soit :
1
2
kx
2
1 = −Fx 1 + FX max +
1
2
kX
2
max
1
2
kx
2
1 + Fx 1 − (FX max +
1
2
kX
2
max ) = 0
Il est facile de voir que la position X 1 = X max est solution de cette équation du second
degré, ce qui correspond au point de départ de l’oscillateur, pour lequel l’énergie
cinétique est également nulle. L’autre solution de cette équation est :
X 1 = −X max +
2F
k
Nous pouvons ainsi obtenir analytiquement toutes les positions d’arrêt de l’oscillateur. En outre, une solution graphique est également possible, comme le montre la
figure 5.15.
-0,06
-0,04
-0,02
0,00
0,02
0,04
0,06
0,0
5,0x 10
-5
1,0x 10
-4
1,5x 10
-4
2,0x 10
-4
2,5x 10
-4
Pente de la droite
-F
Pente de la tangente
kx
x m
E(x)=1/2kx m
2 -F(x m -x)
Ep, E (J )
x (m)
Figure 5.15 • Détermination graphique des positions extrémales atteintes par
un oscillateur à frottement solide à partir des tracés de l’énergie mécanique et
de l’énergie potentielle.
Les positions d’arrêt correspondent aux intersections de la courbe E = f (x) avec
E P = g(x). Il est également remarquable de constater que la position d’arrêt définitive
de l’oscillateur peut être déterminée graphiquement. En effet cette position d’arrêt est
obtenue lorsque la tension du ressort devient égale à la force de frottement solide. La
Mécanique du point
Encart 5.2. Énergie d’un oscillateur amorti par frottement solide
Une autre façon très élégante de résoudre ce problème est d’utiliser l’approche énergétique. L’oscillateur étant amorti, l’énergie mécanique ne se conserve pas et décroît
progressivement au cours du temps. La variation d’énergie mécanique est égale au travail de la force de frottement entre deux positions de l’oscillateur. Il convient comme
précédemment de raisonner sur les tronçons à vitesse positive ou négative. La force de
frottement étant constante, le travail de cette force varie linéairement avec la position
de l’oscillateur. Ainsi sur le premier tronçon, la variation d’énergie mécanique entre le
point de départ x max et un point x quelconque est donnée par :
E − E 0 = E − E P0 = F(x − X max )
E =
1
2
mv
2 +
1
2
kx
2 = Fx − FX max +
1
2
kX
2
max
La position d’arrêt X 1 de l’oscillateur sur ce tronçon est obtenue en exprimant que
l’énergie cinétique de l’oscillateur en X 1 est nulle, soit :
1
2
kx
2
1 = −Fx 1 + FX max +
1
2
kX
2
max
1
2
kx
2
1 + Fx 1 − (FX max +
1
2
kX
2
max ) = 0
Il est facile de voir que la position X 1 = X max est solution de cette équation du second
degré, ce qui correspond au point de départ de l’oscillateur, pour lequel l’énergie
cinétique est également nulle. L’autre solution de cette équation est :
X 1 = −X max +
2F
k
Nous pouvons ainsi obtenir analytiquement toutes les positions d’arrêt de l’oscillateur. En outre, une solution graphique est également possible, comme le montre la
figure 5.15.
-0,06
-0,04
-0,02
0,00
0,02
0,04
0,06
0,0
5,0x 10
-5
1,0x 10
-4
1,5x 10
-4
2,0x 10
-4
2,5x 10
-4
Pente de la droite
-F
Pente de la tangente
kx
x m
E(x)=1/2kx m
2 -F(x m -x)
Ep, E (J )
x (m)
Figure 5.15 • Détermination graphique des positions extrémales atteintes par
un oscillateur à frottement solide à partir des tracés de l’énergie mécanique et
de l’énergie potentielle.
Les positions d’arrêt correspondent aux intersections de la courbe E = f (x) avec
E P = g(x). Il est également remarquable de constater que la position d’arrêt définitive
de l’oscillateur peut être déterminée graphiquement. En effet cette position d’arrêt est
obtenue lorsque la tension du ressort devient égale à la force de frottement solide. La