Annexe B
Introduction
aux systèmes dynamiques
Voici une expérience que chacun de nous a faite ou fera u n jour : essayons de
dérouler horizontalement u n mètre à ruban métallique sur la plus grande longueur possible. Le ruban possède une certaine rigidité en raison de sa section
incurvée ; au-delà d’une certaine longueur, il s’effondre brusquement. En le laissant se réenrouler doucement on constate qu’il se redresse pour une longueur
inférieure à la longueur ayant provoqué l’effondrement (Fig. B. 1).
L’effondrement du ruban est une catastrophe ! Les médias ont banalisé l’emploi de ce mot qui pourrait sembler déplacé dans le contexte du mètre à ruban ...
mais la théorie des catastrophes est une théorie générale* qui peut s’appliquer
à la description de phénomènes discontinus.
Considérons que le mètre possède deux états stables : une position << haute P
(en négligeant la flexion élastique dans cette position) et une position <
dynamique en fonction de sa seule variable : la longueur déployée.
À l’aller, le système est stable jusqu’en A et métastable de A à B (en donnant
u n petit choc on peut provoquer l’effondrement), en B il s’effondre, a u retour il
retrouve la position haute en A.
Deux faits importants caractérisent ce système :
il existe une valeur de la variable pour lequel le système peut être dans u n
état ou dans u n autre mais on ne sait pas a priori lequel,
le retour à l’état initial se fait avec hystérésis.
Considérons maintenant u n système à deux dimensions, dépendant de deux
variables. Nous essayons de représenter le comportement d’une personne à son
travail ; c’est l’état du système. Les deux variables sont d’une part l’intérêt du
* Due au mathématicien R. Thom.
Introduction
aux systèmes dynamiques
Voici une expérience que chacun de nous a faite ou fera u n jour : essayons de
dérouler horizontalement u n mètre à ruban métallique sur la plus grande longueur possible. Le ruban possède une certaine rigidité en raison de sa section
incurvée ; au-delà d’une certaine longueur, il s’effondre brusquement. En le laissant se réenrouler doucement on constate qu’il se redresse pour une longueur
inférieure à la longueur ayant provoqué l’effondrement (Fig. B. 1).
L’effondrement du ruban est une catastrophe ! Les médias ont banalisé l’emploi de ce mot qui pourrait sembler déplacé dans le contexte du mètre à ruban ...
mais la théorie des catastrophes est une théorie générale* qui peut s’appliquer
à la description de phénomènes discontinus.
Considérons que le mètre possède deux états stables : une position << haute P
(en négligeant la flexion élastique dans cette position) et une position <
dynamique en fonction de sa seule variable : la longueur déployée.
À l’aller, le système est stable jusqu’en A et métastable de A à B (en donnant
u n petit choc on peut provoquer l’effondrement), en B il s’effondre, a u retour il
retrouve la position haute en A.
Deux faits importants caractérisent ce système :
il existe une valeur de la variable pour lequel le système peut être dans u n
état ou dans u n autre mais on ne sait pas a priori lequel,
le retour à l’état initial se fait avec hystérésis.
Considérons maintenant u n système à deux dimensions, dépendant de deux
variables. Nous essayons de représenter le comportement d’une personne à son
travail ; c’est l’état du système. Les deux variables sont d’une part l’intérêt du
* Due au mathématicien R. Thom.