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A. CORNET et J.-P. DEVJLLE
Mandelbrot s'est appuyé sur la fonction de Weierstrass (modèle de WeierstrassMandelbrot ou W-M).
Pour modéliser le profil des surfaces dont la topographie dépend de l'échelle
(multi-scale surfaces), on utilise la fonction W-M modifiée :
cos (2n ynx)
z ( x ) = G D - ' 2
n = n
Y ( 2 - D ) n
iA.41
avec 1 < D < 2 et y > 1. Les termes représentent les modes discrets correspondant aux fréquences n qui varient entre la valeur n1 correspondant à la plus
basse fréquence du profil (low cut-oflfrequency) et l'infini. En fonction de la
valeur de yon peut simuler diverses formes de profils ; on trouvera les détails de
cette simulation dans la bibliographie du chapitre 1, en particulier dans les référ e n c e ~ ( ' ~ )
et il7).
Le paramètre important de l'expression (A.4) est le terme G ou facteur
d'échelle qui traduit l'auto-affinité du profil. Ce paramètre est relié au spectre de
puissance du profil :
L est la longueur du profil (A. 1) ; on détermine G a partir de la partie linéaire de
la représentation log-log de P(w) en fonction de w.
L a surface est entièrement Caractérisée, quelle que soit l'échelle, par D et G.
L a lecture d'un ouvrage de base de Mandelbrot'') pourra constituer u n bon
début, et permettre de se rendre compte de l'importance des fractales dans tous
les domaines à travers divers articles de revues scientifiques généralistesi2) à
Pour u n tout début, pourquoi ne pas commencer par la bande dessinée de
Ian Stewart : Les Fractals (BELIN) (qui devraient d'ailleurs s'appeler Les
Fractales !).
Au-delà, c'est un peu plus compliqué.. .
(1) Mandelbrot B., Les objetsfractals (Flammarion, 4e édition, 1995).
(2) Jullien R. et al., Les agrégats, La Recherche 171 (1985) 1334-1343.
(3) Entretien avec B. Mandelbrot, Comment j'ai découvert les fractales, La Recherche 175
(4) Vacher R. et al., La structure fractale des aérogels, La Recherche 220 (1990) 426-435.
( 5 ) McNamee J . , Les fractales dans les vaisseaux des poumons, La Recherche 232 (1991)
624-627.
(6) Bouchaud E. et al., Les fractales dans la rupture des matériaux, L a Recherche 233
(7) Sapoval B., Les échanges a travers les fractales, Pour la Science 198 (1994) 30-37.
(8) Van Damme H. et ai.. L a physique de la boue, Pour la Science 167 (1991) 82-90.
(1986) 420-424.
(1991) 808-809.
A. CORNET et J.-P. DEVJLLE
Mandelbrot s'est appuyé sur la fonction de Weierstrass (modèle de WeierstrassMandelbrot ou W-M).
Pour modéliser le profil des surfaces dont la topographie dépend de l'échelle
(multi-scale surfaces), on utilise la fonction W-M modifiée :
cos (2n ynx)
z ( x ) = G D - ' 2
n = n
Y ( 2 - D ) n
iA.41
avec 1 < D < 2 et y > 1. Les termes représentent les modes discrets correspondant aux fréquences n qui varient entre la valeur n1 correspondant à la plus
basse fréquence du profil (low cut-oflfrequency) et l'infini. En fonction de la
valeur de yon peut simuler diverses formes de profils ; on trouvera les détails de
cette simulation dans la bibliographie du chapitre 1, en particulier dans les référ e n c e ~ ( ' ~ )
et il7).
Le paramètre important de l'expression (A.4) est le terme G ou facteur
d'échelle qui traduit l'auto-affinité du profil. Ce paramètre est relié au spectre de
puissance du profil :
L est la longueur du profil (A. 1) ; on détermine G a partir de la partie linéaire de
la représentation log-log de P(w) en fonction de w.
L a surface est entièrement Caractérisée, quelle que soit l'échelle, par D et G.
L a lecture d'un ouvrage de base de Mandelbrot'') pourra constituer u n bon
début, et permettre de se rendre compte de l'importance des fractales dans tous
les domaines à travers divers articles de revues scientifiques généralistesi2) à
Pour u n tout début, pourquoi ne pas commencer par la bande dessinée de
Ian Stewart : Les Fractals (BELIN) (qui devraient d'ailleurs s'appeler Les
Fractales !).
Au-delà, c'est un peu plus compliqué.. .
(1) Mandelbrot B., Les objetsfractals (Flammarion, 4e édition, 1995).
(2) Jullien R. et al., Les agrégats, La Recherche 171 (1985) 1334-1343.
(3) Entretien avec B. Mandelbrot, Comment j'ai découvert les fractales, La Recherche 175
(4) Vacher R. et al., La structure fractale des aérogels, La Recherche 220 (1990) 426-435.
( 5 ) McNamee J . , Les fractales dans les vaisseaux des poumons, La Recherche 232 (1991)
624-627.
(6) Bouchaud E. et al., Les fractales dans la rupture des matériaux, L a Recherche 233
(7) Sapoval B., Les échanges a travers les fractales, Pour la Science 198 (1994) 30-37.
(8) Van Damme H. et ai.. L a physique de la boue, Pour la Science 167 (1991) 82-90.
(1986) 420-424.
(1991) 808-809.