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A. CORNET et J.-P. DEVILLE
-
E
Y
c
e,
‘e,
c
O
v
e, 4,o
g
Q
m
L
8 3,5
3
0)
c
O
m
e,
-
-
3,O
ci
l 5
e,
U
O
A
l,o
2,o
2 3
3,O
3 3
Log. dec. du pas d’approximation (en km)
Fig. A.1. Évolution de la longueur d’une fractale lorsqu’on réduit le pas de mesure : le cercle rappelle le comportement d’un objet euclidien (d’après Mandelbrot).
Une caractéristique fondamentale des fractales est la propriété d’homothétie
interne ou autosimilitude (self-similarity). Considérons tout d’abord u n segment
de longueur 1 qu’on divise en m parties (rapport d’homothétie) : chaque partie a
pour longueur 1 / m et le nombre d’objets obtenus est N = m. On répète l’opération avec u n carré de coté 1 qu’on divise en m parties : on obtient N = m2 petits
carrés de coté 1 / m .
En généralisant à une dimension D , on a N = mD, d’où :
log N
log m
D = -
(A.2)
Cette dimension est appelée dimension d‘homothétie (similarity dimension).
L a figure A.2 donne u n modèle d’homothétie interne basé sur une construction récursive (construction de Von Koch) : on remplace le tiers central de chaque
segment par deux segments de même longueur que le tronçon retiré.
On a D = log N/log m = 1,26. Les objets réels n’ont pas la régularité du modèle
de Von Koch ; ils peuvent être statistiquement autohomothétiques.
Affinité interne ou auto-affinité (self-aflinity) : l’homothétie interne des
objets fractals implique que l’échelle de ces objets est la même dans toutes les
directions. L a forme de ces objets ne change pas lorsqu’on modifie cette échelle.
Mandelbrot a montré qu’il existe aussi des objets dont l’échelle varie avec la
direction : lorsqu’on change l’échelle d’observation, ils se déforment en subissant
une transformation affine.
Cette propriété a été mise en évidence à partir du mouvement brownien : en
étudiant la fonction B ( t ) qui représente la position, x , d’une particule en fonction
A. CORNET et J.-P. DEVILLE
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ci
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2,o
2 3
3,O
3 3
Log. dec. du pas d’approximation (en km)
Fig. A.1. Évolution de la longueur d’une fractale lorsqu’on réduit le pas de mesure : le cercle rappelle le comportement d’un objet euclidien (d’après Mandelbrot).
Une caractéristique fondamentale des fractales est la propriété d’homothétie
interne ou autosimilitude (self-similarity). Considérons tout d’abord u n segment
de longueur 1 qu’on divise en m parties (rapport d’homothétie) : chaque partie a
pour longueur 1 / m et le nombre d’objets obtenus est N = m. On répète l’opération avec u n carré de coté 1 qu’on divise en m parties : on obtient N = m2 petits
carrés de coté 1 / m .
En généralisant à une dimension D , on a N = mD, d’où :
log N
log m
D = -
(A.2)
Cette dimension est appelée dimension d‘homothétie (similarity dimension).
L a figure A.2 donne u n modèle d’homothétie interne basé sur une construction récursive (construction de Von Koch) : on remplace le tiers central de chaque
segment par deux segments de même longueur que le tronçon retiré.
On a D = log N/log m = 1,26. Les objets réels n’ont pas la régularité du modèle
de Von Koch ; ils peuvent être statistiquement autohomothétiques.
Affinité interne ou auto-affinité (self-aflinity) : l’homothétie interne des
objets fractals implique que l’échelle de ces objets est la même dans toutes les
directions. L a forme de ces objets ne change pas lorsqu’on modifie cette échelle.
Mandelbrot a montré qu’il existe aussi des objets dont l’échelle varie avec la
direction : lorsqu’on change l’échelle d’observation, ils se déforment en subissant
une transformation affine.
Cette propriété a été mise en évidence à partir du mouvement brownien : en
étudiant la fonction B ( t ) qui représente la position, x , d’une particule en fonction